Непостижимая эффективность математики в естественных науках

[Нгаан]

Вот не понимаю я: шахматы это у вас что тоже естественная наука?

Одинаковость козьих орешков неудивительна.

Вы это проверяли с микрометром?

[Весельчак Ы]

Нгаан

Вы это проверяли с микрометром?

Я - профессиональный ученый, поэтому мне достаточно ссылки на Пойа.

[Нгаан]

Ну, тогда передайте вашему Пойа, что:

"если при повторных измерениях некоторой величины получены одинаковые числовые значения, то это свидетельствует не об отсутствии случайных отклонений, а о недостаточной чувствительности измерительного прибора".

[Н. Светлов]

Как-то так естественным путём вся дискуссия ушла в исследование онтологических причин "непостижимой эффективности математики" - по сути, сосредоточилась на соотношении между математикой и устройством мира. И это вполне понятно, потому что Вигнер ставит вопрос именно в этом ключе.

А ведь к этой проблеме можно подобраться и совсем с другой стороны - со стороны теории формальных систем. А теория формальных систем говорит нам, что теория чисел является моделью (точнее, метасистемой) любой формальной системы. Подчёркиваю: "любой", а не "любой другой". Это научно установленный факт, который вообще никак не зависит от реального мира - только от самой теории чисел. И что, спрашивается, из него следует? А из него следует, что если существует хоть какая-то формальная система (обозначим её буквой Ω), "непостижимо эффективная" для исследования какого-то одного частного процесса или явления, то эта Ω может быть описана на языке теории чисел, и на этом же языке можно доказать не только теоремы системы Ω, но и теоремы об её теоремах, позволяющие проверять, является ли данная формула теоремой системы Ω, даже не применяя правила вывода самой системы Ω!

Тянет этот факт на разгадку?

Добавлю сюда, что теория чисел в этом отношении не одинока. Тем же свойством обладает любая формальная система первого порядка (теория чисел относится к их числу).

Однако у этого вывода есть свои границы, и эти границы возвращают нас в пространство онтологии. Я отмечу два рода таких границ. Первый связан с тем, что все формальные системы первого порядка содержат в себе аксиому (или теорему) "непротиворечивости", имеющую вид ¬(А˄¬А). Суть её в том, что одно и то же высказывание не может быть "истинным" и "ложным" "одновременно" (кавычки указывают, что в самой формальной системе таких понятий нет: это одно из возможных прочтений аксиомы человеком). На деле в квантовой механике эта аксиома, строго говоря, неверна, и поэтому теория чисел в принципе не годится для описания микромира: она может описывать только последствия наблюдений, которые согласуются с этой аксиомой. Так что никакая формальная система первого порядка (и никакая формальная система, метасистемой которой является какая-либо ф.с.п.п.) не может быть подходящей (то есть "непостижимо эффективной") моделью микромира.

Второй род границ связан с тем, что мы не знаем, может ли быть моделью микромира формальная система, не содержащая аксиомы (или теоремы) "непротиворечивости" или же его нельзя замоделировать вообще никакой формальной системой. Неизвестно, существует ли, и может ли существовать, какая-либо реальность, в принципе не моделируемая с помощью знаков. Но если она существует, то для такой реальности не существует никаких "непостижимо эффективных" формальных систем, в силу чего она вообще никак не доступна нашему познанию. Как следует из моих сообщений выше, я не исключаю существования такой реальности, хотя для нас, людей, вопрос об её существовании или несуществовании праздный. Он может иметь смысл лишь при попытках ответа на вопрос о том, почему мир таков, как есть, хотя логически состоятельны и другие миры. Тогда, получается, он на самом деле вовсе не таков - просто мы видим его часть, такую, каковы мы сами.

[Весельчак Ы]

В связи с тем, что в декабре я еду в центр Курта Гёделя в Вене, то для приходящих туда философов я коротко накидал здесь мою нынешнюю философию математики, немного систематизировав, обновив и дополнив свои мысли в этой теме. Извиняюсь за английский.

[ПереГиБ]

Нормальный английский. Даже какой-то "русский" английский
Только поправьте в библиографии, пожалуйста, "Moskow" на "Moscow".
И последняя ссылка на форум романтиков - это круто!

[Н. Светлов]

Рональд Льюис Грэм (31 октября 1935 — 6 июля 2020), математик, занимался теорией Рамсея и вычислительной геометрией.

Погуглил теорию Рамсея. Я уже никогда не стану прежним.

Совершенно новая для меня стартовая точка для рассуждалок о "непостижимой эффективности математики"™ и о феноменологии Проекта. Может быть, как раз со структурами рамсеевского типа мы имеем дело в данном случае; и они, возможно, онтологичненькие такие: и к трудной теме возникновения жизни имеют отношение, и Проект, быть может, позволяют объяснить без привлечения целеполагающего начала (печалька, конечно), но с сохранением целенаправленности и осмысленности.

Сколько степеней свободы должно быть у системы, каждая переменная которой коррелирует хотя бы с одной другой переменной, а среднее число корреляционных зависимостей в расчёте на одну переменную пропорционально или более чем пропорционально числу степеней свободы, чтобы в такой системе непременно наблюдался Проект? Вполне себе рамсеевская задачка (если, конечно, подобрать подходящую формализацию понятия «Проект»).

[Нгаан]

А я, прогулявшись по ссылкам, в том числе американских математических премий, офигел от количества талантливого народа, который в 90-е уехал "туда" и стал там развивать идеи, которые "здесь" были прорывными. Это просто катастрофа! И это только в разделе "прикладная математика".

[visor]

Совершенно новая для меня стартовая точка для рассуждалок о "непостижимой эффективности математики"™ и о феноменологии Проекта. Может быть, как раз со структурами рамсеевского типа мы имеем дело в данном случае; и они, возможно, онтологичненькие такие: и к трудной теме возникновения жизни имеют отношение, и Проект, быть может, позволяют объяснить без привлечения целеполагающего начала (печалька, конечно), но с сохранением целенаправленности и осмысленности.

Тут возникает несколько вопросов (мыслей), лежащих на шкале от математики до биологии.
Но, поскольку, они все имеют математическую составляющую, то оставлю их здесь (хотя можно куда-то и отделить).
1. Мы ведь понимаем, что высокоорганизованность, даже самая высокая, не гарантирует способности к размножению.
То есть размножающийся субъект, должен быть не только высокоорганизованнанным, но каким-то и ещё.
(А порой, даже, я бы сказал, и вовсе не высокоорганизованнанным, а безответственным разгильдяем )

2. Какова максимальная простота машины, воспроизводящей себя по имеющейся у себя информацию о себе?
Формулировка требует более корректной математической переформулировки, обобщения, и вызывает иные вопросы.
Из чего она должна себя собирать?
Вообще, возможно ли существование такой машины? Дело в том, что размножение - это не копирование или клонирование.
Биологический потомок всегда отличается от родителя, даже в случае размножения клетки делением.

3. Теорема. (Пока visor-a. Допускаю, что кто-то предложил её раньше. Возможно, это и не теорема вовсе, а неправильное предположение).
Самовоспроизводящаяся машина должна содержать некоторое количество однотипно построенных деталей.
Например. Не может быть живого организма, содержащего разные не повторяющиеся молекулы и структурные фрагменты.

4. Вероятность случайного возникновения организованных структур, состоящих их набора других однотипных организованных структур, очень мала.
Вот это "очень мала" требует определения и развития.
Опять же, формулировка на уровне идеи.
Например. Представим, что в некотором сферическом вакууме материализуются различные объекты, состоящие из случайной комбинации атомов. Спрашивается, какова вероятность того, что таким путём возникнет современный компьютер, состоящий в каких-то местах из однотипно построенных транзисторов, винтов определённого стандарта и размера, имеющий в памяти последовательность байт (пусть даже с "Войной и Миром", но в виде чередующихся структур из определённого набора (ASCII) ).

(Естественно, я не забываю не забывать, что в возникновении жизни большую роль имела самоорганизация.
Однако для самоорганизации в размножающийся организм нужно наличие одинаковых молекул. А их количество (концентрация) (до приобретения способности к самостоятельному синтезу) была очень незначительна. Поэтому и возникают вопросы о пределе "простейшести". )

[Весельчак Ы]

Н. Светлов

Может быть, как раз со структурами рамсеевского типа мы имеем дело в данном случае; и они, возможно, онтологичненькие такие

Ещё одна свежая случайная ссылка:

dobrichev
Re: Теория Всего от С.Вольфрама
Новое сообщение 18.04.2020, 21:17
01/11/17
37

Из последней ссылки я узнал, что если вы рекурсивно примените все возможные преобразования к одному графу, вы получите модель Вселенной, которая полностью соответствует законам современной физике.

But imagine making a multiway graph of absolutely everything that can happen-including all events for all possible rules. This is a big, complicated object. But far from being structureless, it's full of all kinds of structure.

Сколько степеней свободы должно быть у системы, каждая переменная которой коррелирует хотя бы с одной другой переменной, а среднее число корреляционных зависимостей в расчёте на одну переменную пропорционально или более чем пропорционально числу степеней свободы, чтобы в такой системе непременно наблюдался Проект? Вполне себе рамсеевская задачка (если, конечно, подобрать подходящую формализацию понятия «Проект»).

Моё мнение, как математика, занимающегося теорией Рамсея, чтобы что-то такое оценить, надо бы более конкретную модель, и неплохо бы графическую. Более того, для случайных графов оценки возможности могут быть лучше. Например, если граф достаточно велик, то почти при любой раскраске его ребер в два цвета он содержит одноцветный полный подграф данного порядка.

Вот конкретный пример про R(4, 4) из Википедии.

«Using induction inequalities, it can be concluded that R(4, 3) ≤ R(4, 2) + R(3, 3) − 1 = 9, and therefore R(4, 4) ≤ R(4, 3) + R(3, 4) ≤ 18. There are only two (4, 4, 16) graphs (that is, 2-colourings of a complete graph on 16 nodes without 4-node red or blue complete subgraphs) among 6.4 × 10²² different 2-colourings of 16-node graphs, and only one (4, 4, 17) graph (the Paley graph of order 17) among 2.46 × 10²⁶ colourings. (This was proven by Evans, Pulham and Sheehan in 1979.) It follows that R(4, 4) = 18».

[Н. Светлов]

2. Какова максимальная простота машины, воспроизводящей себя по имеющейся у себя информацию о себе?

Может ли существовать начальная конфигурация игры «жизнь» на бесконечном поле (пусть даже не обязательно двумерном), в которой на шаге n возникают две такие же конфигурации, повёрнутые в одной из плоскостей на 90° к исходной, на некотором достаточно большом расстоянии одна от другой?

Если нет, то можно ли изменить функции событий возникновения/отмирания клетки от текущей конфигурации таким образом, чтобы такая возможность появилась?

Представим, что в некотором сферическом вакууме материализуются различные объекты, состоящие из случайной комбинации атомов. Спрашивается, какова вероятность того, что таким путём возникнет современный компьютер

Очень мала Да, как-то так.

Кстати, если сферический вакуум порождает только лишь случайные комбинации атомов, то «Война и мир» в памяти не появится.

Эта деталь может иметь существенное значение для возникновения жизни и, быть может, даже просто самовоспроизводящейся машины. Весь анализ, вытекающий из модели «случайной комбинации атомов», в этом отношении может быть некорректен. Есть же некоторая неуловимая разница между слоном и трупом слона.

Однако для самоорганизации в размножающийся организм нужно наличие одинаковых молекул. А их количество (концентрация) (до приобретения способности к самостоятельному синтезу) была очень незначительна.

Ну, это вопрос вероятности. Очень малой™, да

Моё мнение, как математика, занимающегося теорией Рамсея, чтобы что-то такое оценить, надо бы более конкретную модель, и неплохо бы графическую.

Ну, в данном случае интерес представляет не сама оценка, а, скорее, корректность/некорректность самого вопроса применительно хоть к какой-то формализации. Моя гипотеза заключается в том, что (а) вопрос корректен, (б) существует формализация, приводящая к числу степеней свободы, малому в том же смысле, в котором велика величина, обратная вероятности возникновения того самого компьютера.

[Весельчак Ы]

Может ли существовать начальная конфигурация игры «жизнь» на бесконечном поле (пусть даже не обязательно двумерном), в которой на шаге n возникают две такие же конфигурации, повёрнутые в одной из плоскостей на 90° к исходной, на некотором достаточно большом расстоянии одна от другой?

Если нет, то можно ли изменить функции событий возникновения/отмирания клетки от текущей конфигурации таким образом, чтобы такая возможность появилась?

О самовоспроизводящихся конфигурациях в жизнеподобных играх пишется в начале второй части статьи Мартина Гарднера, видимо, из книги ещё 1983 года.

---

Есть же некоторая неуловимая разница между слоном и трупом слона.

«Как поймать слона».

[Н. Светлов]

О самовоспроизводящихся конфигурациях в жизнеподобных играх пишется в начале второй части статьи Мартина Гарднера, видимо, из книги ещё 1983 года.

Материал статьи говорит, в частности, о том, что правила перехода (эквивалентом которых можно считать случайно сложившиеся условия среды) могут резко снизить сложность задачи самовоспроизведения чего-нибудь.