Достижения отечественной космонавтики

[Н. Светлов]

впрочем, вторая аксиома непродуктивна, т.е. не может использоваться в доказательствах

Как это так?
Я с её помощью только что доказал две теоремы. Первая: розовые крокодилы длиннее синих. Вторая: синий и розовый цвета — разные!

[skor]

Я с её помощью только что доказал две теоремы. Первая: розовые крокодилы длиннее синих. Вторая: синий и розовый цвета — разные!

Согласен про первую теорему

Вторая теорема, по идее, не должна была бы возникнуть, если бы мы использовали более формальную запись нашей теории, дав определения множества цветов и множества длин.

[Н. Светлов]

Вторая теорема, по идее, не должна была бы возникнуть, если бы мы использовали более формальную запись нашей теории, дав определения множества цветов и множества длин.

Да, ты прав. Правильная теорема звучит так: синий и розовый цвета могут быть разными.

А вот отношении красного и синего, красного и розового цветов нет возможности ни доказать, ни опровергнуть, что они могут быть разными.

[Нгаан]

дав определения множества цветов и множества длин

Предлагаю ограничиться экстремумами длины и вплотную заняться поиском корреляционной функции между длиной и цветом.

[Лилия]

В общем, ваше, Лилия, утвержение о подмене понятий для меня чрезвычайно загадочно, и было бы здорово, если бы вы его расшифровали

Так увлеклись подменами понятий, что сами запутались? А я предупреждала, ничего хорошего в них нет.

Возвращаемся к аксиоме Лобачевского о том, что через одну точку можно провести не менее двух несовпадающих прямых, параллельных данной. Выглядит ли она откровенным бредом?

А это точно аксиома? Тогда хотелось бы всё таки убедительных доказательств на этот счёт. Ответ, вроде "аксиома не требует доказательств", звучит не очень убедительно.

[skor]

А это точно аксиома? Тогда хотелось бы всё таки убедительных доказательств на этот счёт. Ответ, вроде "аксиома не требует доказательств", звучит не очень убедительно

Остаётся обнять и плакать

[Лилия]

Остаётся обнять и плакать

Тоже звучит не убедительно.
Про подмену понятий в Ваших постах поясняю. Аксиома, по вашему определению это утверждение, которое не требует доказательств или любое утверждение в ваших рассуждениях, которое должно быть принято, как утверждение не требующее доказательств?
И к чему здесь Лобачевский? Именем skora разве тоже назван какой нибудь университет?

[Нгаан]

Аксиома, по вашему определению это утверждение, которое не требует доказательств

Это не его утверждение. Это принцип аксиоматики вообще. Всякая математическая теория имеет в своей основе комплекс базовых представлений, которые не доказываются, а принимаются как есть. Многие из них изначально считались очевидными. Но потом, в ходе развития математической теории, возникали вопросы об этой самой "очевидности" базовых уложений той или иной теории. В результате математика прошла через ряд кризисов связанных с расширением понятий о пространстве, о числе, о предельно малых величинах, о множествах и так далее. Все эти процессы сопровождались пересмотром и расширением аксиоматических оснований.

Все прочие точные науки в конечном итоге приходят к математизации. Кто-то из великих в своё время сказал, что в любой науке тем больше науки, чем больше в ней математики. Последний наглядный пример это биология. От коллекционирования экземпляров и описания видов современная биология перешла к математическому (вероятностному и статистическому) анализу генных комбинаций. Таким образом ирония пана Скора базируется на этом глубинном понимании человеческих знаний, как некоторых совокупностях теорий о соотношениях форм и количеств наблюдаемого мира.

[Лилия]

Нгаан, а на мой взгляд наука базируется на конкретике, обоснованных фактах и логике. А не на отвлеченных рассуждениях о розовых или синих крокодилах.

Это принцип аксиоматики вообще.

Был конкретный вопрос, если Вы решили за skora отвечать.

Аксиома, по вашему определению это утверждение, которое не требует доказательств или любое утверждение в ваших рассуждениях, которое должно быть принято, как утверждение не требующее доказательств?

Обоснованного ответа я не увидела. Вы просто написали свои предположения и домыслы, по поводу того, что может считать skor. И может на самом деле и не считает.

Всякая математическая теория имеет в своей основе комплекс базовых представлений, которые не доказываются, а принимаются как есть. Многие из них изначально считались очевидными.

Вот именно, главное свойство аксиомы, это ее очевидность, потому она и не требует доказательств. Вам очевидно, что розовые и синие крокодилы существуют? Мне нет. Соответственно, как я могу это принять за аксиому? Потому что кто-то это просто утверждает? Если skor предоставит убедительные доказательства этого всего,

Аксиом пускай будет три штуки:
1)крокодилы одинакового цвета имеют одинаковую длину;
2)синие крокодилы короче розовых;
3)все крокодилы -- красные.

Без проблем, вопрос будет снят. А до тех пор, это игра слов, шутка, чушь, всё что угодно, на форуме фантастики почему бы не поболтать для удовольствия. Но никак не аксиома.

[ZYOBRA_70]

главное свойство аксиомы, это ее очевидность

Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и переходит в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».

Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы русского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрии, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.

Сначала идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10 — 12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и тому подобное. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом[4]. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает вероятность истинности системы аксиом.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома

[Лилия]

ZYOBRA_70, ну вот опять. Вопрос был об одном и адресованный другому человеку, Вы беретесь за другого отвечать. Про Лобачевского вопрос вообще был Светлову, так как он начал о нем разговор, хорошо Вы ответили за него, может он своё мнение еще напишет.Вы что хотели этим доказать? Это доказывает, что розовые и синие крокодилы существуют? Это следует принять за аксиому?

Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом

Значит получается, разница только в том, кто и что понимает под одним и тем же словом или понятием, о чём и был вопрос skorу в общем-то. Причем за него пока отвечали другие, что он сам считает поэтому поводу пока ответа не было.

Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10 — 12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида.

Вот видите, и здесь тоже теорема получила признание после того, как была доказана. И только после этого ее начали считать аксиомой.

[ZYOBRA_70]

Лилия, вообще-то я таким образом возразил на Ваше утверждение что

главное свойство аксиомы, это ее очевидность,

а именно:

Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость.

Вы застряли в третьем веке до нашей эры и не хотите признать, что понятие "аксиома" с тех пор претерпело значительные изменения. Это печально, но это факт. К сожалению.

[skor]

Аксиома, по вашему определению это утверждение, которое не требует доказательств или любое утверждение в ваших рассуждениях, которое должно быть принято, как утверждение не требующее доказательств?

Аксиома -- это утверждение, которое в рамках какой-то теории считается истинным и не требующим доказательств.

Если теорию придумываю я, то это я решаю, какое утверждение в ней является истинным и не требующим доказательств.

Аксиом пускай будет три штуки:
1)крокодилы одинакового цвета имеют одинаковую длину;
2)синие крокодилы короче розовых;
3)все крокодилы -- красные.

Без проблем, вопрос будет снят. А до тех пор, это игра слов, шутка, чушь, всё что угодно, на форуме фантастики почему бы не поболтать для удовольствия. Но никак не аксиома.

Тут три аксиомы, а не одна. И это три вполне нормальные аксиомы, ничем не хуже других

Я их придумал после того, как увидел, что вы не поняли аксиому о параллельных прямых геометрии Лобачевского. Понимаете, Лилия, эта аксиома -- безумная! Она более безумная, чем утверждение о том, что все крокодилы -- красные. Красного крокодила хотя бы можно себе представить, а две разные параллельные прямые, проведённые через одну точку, представить нельзя.

Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10 — 12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида.

Вот видите, и здесь тоже теорема получила признание после того, как была доказана. И только после этого ее начали считать аксиомой.

Ой, ужос какой

[ZYOBRA_70]

Красного крокодила хотя бы можно себе представить

[Н. Светлов]

А это точно аксиома? Тогда хотелось бы всё таки убедительных доказательств на этот счёт.

Ну, Лобачевский так считал…
А сам я, опять-таки, сошлюсь на книжку Лорьера. Если интересно — пришлю ссылку личкой.

И к чему здесь Лобачевский?

Вы писали:

По мне так пример с крокодилами выглядит откровенным бредом, что я даже решила это никак не комментировать.
Из него следует, что за аксиому можно принять всё что угодно и человеку вздумается.

Ну вот вздумалось Лобачевскому, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых…
А что до того, что его аксиоматика непротиворечива — так ведь и аксиоматика, предложенная skor'ом, тоже непротиворечива! Из неё, как и из аксиоматики Лобачевского, не удастся вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием.

Думаю, что, критикуя теорию разноцветных крокодилов, Вы не делаете различия между именем и сущностью. Сила формальных теорий в том, что их теоремы общезначимы. Другими словами, какую бы сущность мы ни подставили на место крокодила, все теоремы этой теории по-прежнему будут распространяться на эту сущность. И чтобы найти теории применение, нужно найти лишь объект, который способен был бы обладать тремя разными дискретными свойствами (назовём их «цветами» с той же степенью условности, с которой «цветами» называются атрибуты кварков, а вообще это может быть что угодно), но при том в реальности все известные экземпляры такого объекта обладали только одним из этих свойств. Кроме того, такой объект должен обладать ещё и признаком, который похож на длину тем, что может быть больше или меньше. И если для этого объекта будут выполнены ещё и аналоги аксиом теории цветных крокодилов, то теоремы этой теории гарантированно будут соответствовать истинным высказываниям о таких объектах.

Итак, чтобы построить теорию, мы вправе формулировать аксиомы как нам вздумается. Но при этом теория только тогда окажется практически полезной, когда обнаружится такой объект, для которого оказывается возможным задать такие правила установления связи между аксиомами и объектом (эти правила называются интерпретацией), чтобы аксиомы теории соотносились с истинными утверждениями о данном объекте. И вот тогда (вуаля!) окажется, что и все теоремы данной теории, как бы абсурдно они ни звучали, можно будет с помощью правил интерпретации перевести в утверждения об объекте, которые тоже окажутся истинными.

Если же это оказалось не так, то, значит, интерпретация с самого начала была неверной. То есть одно или более утверждений об объекте, в которые аксиомы переведены при помощи правил интерпретации, только казались истинными, но на самом деле это оказалось не так.

Теория Лобачевского находит интерпретацию, например, в реальной вселенной на очень больших расстояниях. То есть, как оказалось, в реальной вселенной действительно может существовать больше одной прямой, проходящей через одну и ту же точку параллельно заданной. Отсюда, в частности, возможность видеть одну и ту же удалённую галактику в двух местах небосвода одновременно, если свет её проходит мимо объекта с очень сильным гравитационным полем. Поэтому польза геометрии Лобачевского не только в том, что она непротиворечива (ибо, повторюсь, теория цветных крокодилов тоже непротиворечива), но ещё и в том, что нашёлся объект, к которому она применима в точности! Правда, этот объект очень велик по размерам.

[Лилия]

Вы застряли в третьем веке до нашей эры и не хотите признать, что понятие "аксиома" с тех пор претерпело значительные изменения. Это печально, но это факт. К сожалению.

Я не спрашивала Вас в каком веке кто застрял. Если Вы считаете, что аксиомой можно назвать что угодно сейчас, так и скажите. Так и отмечу для себя. Не менее печально знаете ли.

[Нгаан]

на мой взгляд наука базируется на конкретике, обоснованных фактах и логике

Аксиомы это как раз про логику. А если учесть, что теперь мы имеем возможность сталкиваться со множеством всяких информационных объектов, которые никак не отображаются в природе, но вполне себе прекрасно существуют и выполняют свою информационную работу, то... искать обоснование некоторых вещей в реальности вообще сложно. Я тут недавно слушал как один товарищ объяснял почему ноль в степени ноль равно единице. (Сами можете на калькуляторе проверить). Голову сломать можно: "ничего возведённое в степень ничего вдруг даёт что-то!" Безумие какое-то, не правда ли?

[Лилия]

Если теорию придумываю я, то это я решаю, какое утверждение в ней является истинным и не требующим доказательств.

Я их придумал после того, как увидел, что вы не поняли аксиому о параллельных прямых геометрии Лобачевского. Понимаете, Лилия, эта аксиома -- безумная! Она более безумная, чем утверждение о том, что все крокодилы -- красные. Красного крокодила хотя бы можно себе представить, а две разные параллельные прямые, проведённые через одну точку, представить нельзя.

Ну, Лобачевский так считал…

В общем, я правильно всех поняла, любое утверждение можно считать аксиомой, даже если она выглядит безумной?

Поэтому польза геометрии Лобачевского не только в том, что она непротиворечива (ибо, повторюсь, теория цветных крокодилов тоже непротиворечива), но ещё и в том, что нашёлся объект, к которому она применима в точности!

Николай Михайлович, хорошо, как найдете практическое применение теории про крокодилов, обязательно поделитесь.

[Н. Светлов]

В общем, я правильно всех поняла, любое утверждение можно считать аксиомой, даже если она выглядит безумной?

Нет.

Аксиомой можно считать сколь угодно безумное утверждение при выполнении трёх условий. Первое: оно формулируется не само по себе, а обязательно как часть некоторой знаковой (формальной) системы. В знаковую систему входят правила синтаксиса, одна или более аксиом (например, в теории чисел, строго говоря, аксиом бесконечно много), одно или более продукционных правил (правил проверки того, является ли некоторое высказывание теоремой). Второе: оно соответствует синтаксису данной знаковой системы (например, высказывание «-1» соответствует синтаксису теории чисел, а высказывание «1-» не соответствует). Третье: оно считается теоремой данной знаковой системы без проверки этого статуса при помощи продукционных правил.

[Лилия]

Аксиомой можно считать сколь угодно безумное утверждение при выполнении трёх условий.

Вот, как раз тот случай, когда одно и тоже понятие может интерпретироваться по разному. Даже с более простыми словами такое бывает.
Лучше в беседе пояснять, кто что имел в виду.