Физический смысл использования суммы Рамануджана для эффекта Казимира

[Bitman]

Посмотрел четырёхчасовой ролик про дзета-функцию Римана на канале с хорошим названием "Шиз":

https://youtu.be/86ck6wGxJSA

На четвёртом часе тут рассказывается, как связанная с дзета-функцией Римана сумма Рамануджана используется при выводе эффекта Казимира (притяжение между двумя незаряженными проводящими пластинами в вакууме). Мне пока не очень понятен физический смысл всего этого.
Эффект Казимира возникает из-за "давления вакуума". Для описания этого, автор утверждает что "квантовые флуктуации описываются некой функцией, которую можно назвать амплитудой". Эта функция похожа на волновую функцию гармонического осциллятора, из граничных условий следует
W=pi n / L где L - расстояние между пластинами. И далее, как пишет автор, для расчёта полной энергии надо просуммировать по всем возможным n:
E=sum n=1 inf 1/2 h pi wn=h pi /2L *-1/12=-h pi / 24L

Попробую вставить картинку с формулой:

► Показать

Мне неясно, почему здесь взяли и просуммировали по всем n, в то время как для нахождения энергии гармонического осцилоятора в "обычной квантовой механике" надо брать один конкретный n. Т.е. там когда n=0 - это основное состояние, когда n=1 - это первое возбужденное состояние и так далее. Хотя в принципе и с молекулами можно суммировать по бесконечному числу состояний - можно сказать что молекула может быть в любом состоянии, время нахождения в каждом состоянии можно посчитать по Больцману, и это всё можно усреднить. Но расчёт эффекта Казимира это что-то совсем другое? Ещё, если не путаю, суммирование по множеству состояний (может быть бесконечному, тут точно не уверен) используется для расчёта энергии электронной корреляции (она же квантовая запутанность) в квантовой химии (метод конфигурационного взаимодействия). В общем помогите разобраться.

[Мотылек]

Но расчёт эффекта Казимира это что-то совсем другое?

Я весь этот сложный матан не понимаю, а что бы закрыть для себя гештальт с эффектом Казимира, я "на пальцах" использую упрощенную объяснительную модель (скорее всего неправильную ). На квантовом уровне происходит постоянное локальное нарушение закона сохранения энергии - те самые квантовые колебания. Когда на микроскопическом временном масштабе регулируемом принципом неопределенности может локализоваться фотон обладающий реальной энергией и чем энергия больше, тем на меньшее время он может "появиться" прежде чем "схлопнется" обратно. Но фотоны - это не частицы, а волновые пакеты, которые не могут иметь область локализации сильно отличную от их длинны волны. Если есть две близко расположенные пластины, то с наружи у них пространство не ограничивает область локализации и квантовые колебания вакуума могут быть любых длин волн. А вот между пластинами могут локализоваться только волновые пакеты, которые там помещаются или укладываются своей длинной волны целое число раз . Коль скоро квантовые колебания - процесс случайный, то временное нарушение закона сохранения с подходящей длинной волны (между пластинами) происходит реже, чем батарея разномастных нарушений с самыми разными длинами волн снаружи пластин. В результате "давление колебаний" между пластинами меньше чем снаружи.

[Bitman]

Мотылек, я пока ваш ответ не понял, но всё равно спасибо что поддерживаете эти темы. Потом подумаю над вашим ответом. Тут реально могучая философия - оказывается ноль больше чем бесконечность. "Nothing is bigger than infinity".

[Н. Светлов]

Мне неясно, почему здесь взяли и просуммировали по всем n

Подозреваю (хотя в силу недостатка знаний не уверен), что одно слагаемое берётся, когда речь идёт о квантовом состоянии одной частицы или одного ансамбля взаимно запутанных частиц. Между пластинами число таких частиц (ансамблей) можно почти без риска ошибки принять равным бесконечности (ряд-то сходящийся).

[Bond]

Вот, Мотылёк хорошо всё объяснил, в очередной раз подтвердив, что в физике математика вобщем-то особо и не нужна!

[Bitman]

В этом видео в одном месте рассказывается такая вещь: вероятность того, что два случайно взятых числа взаимно простые, равна 1/(sum(1/n^2))=6/pi^2.
Это упоминается также в Википедии:

https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_i ... oprimality

У вас нет ощущения, что сама формулировка этого вопроса чуть-чуть бредовая?

[Bitman]

Вот что мне странно в рассуждении из вики.
Возьмём два случайных числа в интервале от 1 до 100, и посчитаем вероятность что они взаимно простые. Посчитать это несложно - простым перебором (два вложенных цикла). Теперь возьмём два числа в интервале от 1 до 200, и снова считаем вероятность. Потом от 1 до 300 и так далее. Может быть, если построить искомую вероятность на графике, будет видно что типа "явно сходится асимптотически к какому-то пределу".
Теперь будем считать вероятности сначала для чисел от 1 до 10, потом от 1 до 100, потом от 1 до 1000 и так далее. Снова будет видно что "функция красиво асимптотически сходится к определённому пределу".
Теперь возьмём ряды: $10^{10}$, $10^{100}$, $10^{1000}$ и так далее. Потом ряды $10^{10^{10}}$, $10^{10^{100}}$, $10^{10^{1000}}$ и так далее. Потом ряды 10!, 100!, 1000! и так далее. Потом будем брать факториал от факториала, потом факториал от факториала от факториала и т.д. Потом попробуем "взять факториал факториал раз". Эти упражнения можно продолжать до бесконечности. Не будет ли так, что в какой-то момент "функция перестанет сходиться асимптотически"?

[Н. Светлов]

Не будет ли так, что в какой-то момент "функция перестанет сходиться асимптотически"?

Разумеется, существует математическое доказательство, что не перестанет. Вероятно, оно весьма сложное, как и почти все доказательства в теории чисел (натуральных).

Объяснение из Википедии — явно «для чайников», хотя по сути верное.

Единственный нюанс — слово «вероятность» не совсем к месту. Дело в том, что невозможно «случайно взять» два числа из множества натуральных чисел. Если их действительно «взять случайно» (подразумевая равновероятность выбора любого натурального числа), то они оба почти наверное окажутся больше любого наперёд загаданного натурального числа, каким бы большим мы его не выбрали. Правильнее говорить о пределе доли взаимно простых пар в подмножестве множества всех пар натуральных чисел, не превосходящих , где .

Отправлено спустя 3 минуты 50 секунд:

Попробую вставить картинку с формулой:

На форуме можно использовать LaTeX:

Код: Выделить всё

[latex]n \to \infty[\latex]

[BabylonAS]

На форуме можно использовать LaTeX

До тех пор, пока сайт, на откуп которому форум отдаёт прорисовку формул, не отвалится или его не заблокируют

[Н. Светлов]

До тех пор, пока сайт, на откуп которому форум отдаёт прорисовку формул, не отвалится

Да.

Отвалится — перекодируем на другой сайт, ибо свято место пусто не бывает. Это как раз та фича, которая находится под полным контролем администрации, в отличие от многих других, которые хотелось бы обрести или подправить.

► Показать

Кстати о птичках, тот сайт и в самом деле заблокирован — разумеется, с той стороны. Его html-cтраницы без VPN не загружаются. Но рендеринг формул работает.

[Bitman]

Объяснение из Википедии — явно «для чайников», хотя по сути верное.

У меня такое ощущение, что это что-то сугубо интуитивное, не формализованное. И нет гарантии что оно работает всегда и везде. Это как гармонический ряд: интуитивно кажется что он должен сходиться - ан нет, он расходится.

[Н. Светлов]

У меня такое ощущение, что это что-то сугубо интуитивное, не формализованное.

Чтобы рассеять это ощущение, можно погуглить дзета-функцию Римана и её приложения. Она, насколько я понимаю, имеет прямое отношение к делу.

[Bitman]

Я сел покодить и написал программу, подсчитывающую вероятности перебором. Берутся все числа в интервале от 1 до 100, и двумя вложенными циклами подсчитывается вероятность, что они не являются взаимно-простыми. Потом берутся все числа в интервале от 1 до 200, потом все числа в интервале от 1 до 300 и так далее. Получился такой график (мой компьютер считал это час):



Красная кривая это теоретический предел 6/pi^2. Я не то чтобы допускаю, что в какой-то момент чёрная кривая может уйти ниже красной, но мне хочется чтобы кто-то дал понятное доказательство, почему это невозможно. Хотелось бы доказательство “на пальцах” вроде такого:

Возьмём два ряда
1+1/2+1/4+1/8+1/16…
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6…

Как посчитать эти суммы и доказать это? Понятное мне доказательство “на пальцах” такое: для первого ряда, с каждым слагаемым вдвое уменьшается расстояние до 2, соответственно с бесконечным числом слагаемых это расстояние станет бесконечно малым. Второй же ряд расходится, и для доказательства этого можно группировать члены, показав что будет бесконечное число слагаемых, каждое из которых не меньше 1/2.
Просьба дать мне ещё какие-нибудь такие доказательства или что-то ещё по теме.

[Bitman]

Мне захотелось поразвлечься и ускорить свой алгоритм: новый алгоритм посчитал предыдущий график в 200 раз быстрее, а за час посчиталось до N=325:



Я попробую сам придумать, как ещё это ускорить, не надо слишком много спойлеров. Заодно, если кому интересно, попробуйте догадаться – как работал раньше мой алгоритм и как я его ускорил? Намекну, что во-первых новый алгоритм расходует больше памяти, во-вторых мне потребовалось старый код тоже чуть-чуть переписать и он стал чуть-чуть медленнее (практически без разницы, но тем не менее). Опытные программисты должны догадаться, что это было.