Астрономы измерили геометрию Вселенной

[Bitman]

Я сейчас всё ломаю голову: если на поверхности обычного трехмерного тора живут муравьи, как они могут экспериментально определить, что их мир многосвязный?

[Н. Светлов]

Тут уж теорию большого взрыва пересматривают

Её ещё А.Д. Сахаров пересматривал в своё время. По Сахарову выходило, что максимум энтропии соответствует максимальному геометрическому объёму вселенной, минимум — минимальному объёму, и оттого стрела времени направлена от минимального объёма к максимальному. Таким образом, Сахаров объяснил сразу и большой взрыв (как точку разворота времени при минимуме объёма вселенной), так и время. Изящно.

Но Сахаров ничего не знал об ускоряющемся расширении. В его картинку оно не вписывается. Зато его по-своему успешно оседлал Н. Горькавый.

Я сейчас всё ломаю голову: если на поверхности обычного трехмерного тора живут муравьи, как они могут экспериментально определить, что их мир многосвязный?

В одной из книжек А. Савватеева мне попадался ответ на этот вопрос. Идея в том, чтобы покрыть тор сеткой, а потом по определённым правилам удалять один за другим узлы этой сетки. Конечный результат для шара и тора окажется разным.

[Весельчак Ы]

Я сейчас всё ломаю голову: если на поверхности обычного трехмерного тора живут муравьи, как они могут экспериментально определить, что их мир многосвязный?

Прежде всего, замечу, что обычный тор это поверхность, а ограниченное нею тело называется, кажется, полнотором. Насколько я понимаю, экспериментально проверить односвязность огромного тора как топологического пространства довольно трудно, так как нестягиваемые замкнутые кривые на нем должны быть достаточно длинными, например, проходить по параллелям или меридианам. Но даже при нахождении кандидата на нестягиваемость эту нестягиваемость еще нужно как-то проверять. Но если известно, что поверхность обладает дополнительными свойствами, как, например, ориентируемость, или наличие метрики, в которой поверхность однородна, изотропна и имеет постоянную кривизну, то задача ее классификации облегчается, подобно тому, как описано в упомянутой мною выше статье «Какую форму имеет наша Вселенная?».

Идея в том, чтобы покрыть тор сеткой, а потом по определённым правилам удалять один за другим узлы этой сетки. Конечный результат для шара и тора окажется разным.

Насколько я понимаю, если поверхность ориентируемая и достаточно "хорошая", а муравьи настолько трудолюбивы, что могут покрыть её связной сеткой с В вершинами, Р ребрами и Г областями (причём все области односвязны), то потом они могут определить род (количество ручек) g поверхности по обобщенной формуле Эйлера, В - Р + Г = 2 - 2g, см. напр. Теорему 5.22 в "Chromatic Graph Theory" (Gary Chartland, Ping Zhang, 2009?).

А еще муравьи могут поступить как островитяне из рассказа Мартина Гарднер «Остров пяти красок». А именно, предположим, что на поверхности удалось разместить n, n>2 попарно граничащих стран. Тогда, насколько я понимаю, из Теоремы 5.26 (Gerald Ringel, J.W.T. Youngs) из упомянутой выше книги следует, что поверхность имеет по крайней мере (n-3)(n-4)/12 ручек. В частности, n меньше пяти для сферы, но для тора уже может быть равно семи.

[Bitman]

А еще муравьи могут поступить как островитяне из рассказа Мартина Гарднер «Остров пяти красок». А именно, предположим, что на поверхности удалось разместить n, n>2 попарно граничащих стран. Тогда, насколько я понимаю, из Теоремы 5.26 (Gerald Ringel, J.W.T. Youngs) из упомянутой выше книги следует, что поверхность имеет по крайней мере (n-3)(n-4)/12 ручек. В частности, n меньше пяти для сферы, но для тора уже может быть равно семи.

Не понял, каких ручек?

[Весельчак Ы]

Bitman, см. например, ту же статью о форме Вселенной:

"если на сфере вырезать круглую дырку и приделать к ней одну ручку, то получившаяся фигура уже будет гомеоморфна тору.

Существует множество поверхностей, которые топологически отличны от тора и сферы. Например, добавив к тору ручку, подобную той, что мы видим у чашки, мы получим новую дырку, а значит, и новую фигуру. Тор с ручкой будет гомеоморфен фигуре, напоминающей крендель, которая в свою очередь гомеоморфна сфере с двумя ручками. Добавление каждой новой ручки создает еще одну дырку, а значит, и другую поверхность. Таким способом можно получать бесконечное их количество".

[Bitman]

если на сфере вырезать круглую дырку и приделать к ней одну ручку, то получившаяся фигура уже будет гомеоморфна тору.

Существует множество поверхностей, которые топологически отличны от тора и сферы. Например, добавив к тору ручку, подобную той, что мы видим у чашки, мы получим новую дырку, а значит, и новую фигуру. Тор с ручкой будет гомеоморфен фигуре, напоминающей крендель, которая в свою очередь гомеоморфна сфере с двумя ручками. Добавление каждой новой ручки создает еще одну дырку, а значит, и другую поверхность. Таким способом можно получать бесконечное их количество

Здесь под ручкой имеется в виду ручка от чашки чая? Сорри, до сих пор не понимаю, что значит "на сфере вырезать круглую дырку и приделать к ней одну ручку".
Может быть корректнее было бы "вырезать на сфере две круглые дырки, провести от их краёв поверхности и соединить эти поверхности".

[Весельчак Ы]

Насколько я понимаю, можно или вырезать две непересекающиеся круглые дырки и соединить их ручкой-трубкой, или же вырезать одну маленькую круглую дырку в поверхности, и одну такую же в торе, и потом склеить поверхность и тор по этим дыркам.

[Н. Светлов]

Насколько я понимаю, если поверхность ориентируемая и достаточно "хорошая", а муравьи настолько трудолюбивы, что могут покрыть её связной сеткой с В вершинами, Р ребрами и Г областями (причём все области односвязны), то потом они могут определить род (количество ручек) g поверхности по обобщенной формуле Эйлера, В - Р + Г = 2 - 2g, см. напр. Теорему 5.22 в "Chromatic Graph Theory" (Gary Chartland, Ping Zhang, 2009?).

Да, помнится, эта формула в той книжке (относящейся к жанру научпопа) тоже была.

[Bitman]

У меня пока такие мысли вслух. Предположим, у нас есть цилиндр. Верхнюю и нижнюю его основания покрасим двумя красками, а по боковой поверхности проведём штрих-код (вертикальные полоски). Цвета полосок не могут быть цветами оснований, соответственно на всё надо 4 краски. Теперь прорежем круг в боковой поверхности и круг в верхнем основании, и соединим эти края поверхностью, т.е. получим чашку чая. Цвет ручки этой чашки может совпадать только с цветом нижнего основания. Теперь проделаем вырост в ручке и соединим ещё одной ручкой её с нижним основанием. Тут уже как бы надо придумывать пятый цвет, но нужно ещё доказать, что это не может быть цвет штрихкода (т.е. надо ещё провести границы стран, чтобы вторая ручка граничила с штрихкодом). Пока не очень понятно.

Отправлено спустя 1 день 23 часа 3 минуты 4 секунды:
https://elementy.ru/novosti_nauki/43385 ... zlucheniya

Модель тороидальной Вселенной хорошо объясняет спектр флуктуаций реликтового излучения

[Весельчак Ы]

Читаю сейчас последнюю версию «Осциллирующей Вселенной» Горькавого. Согласно ней, «в 2020 году из анализа данных космической обсерватории «Планк» был сделан вывод, что Вселенная не плоская, а, с вероятностью 99%, замкнута. Следовательно, она не будет разлетаться бесконечно — что противоречит предсказанию квантовой теории инфляции о плоской геометрии вечно расширяющейся Вселенной, остывающей в «тепловой смерти». Статья с этими результатами называлась «Свидетельство «Планка» о замкнутой Вселенной и возможный кризис космологии» и была опубликована в Nature. Аналогичный вывод делался раньше и на основе данных спутника WMAP. Кроме того, к настоящему времени накопились убедительные данные о глобальной анизотропии Вселенной и о непостоянстве постоянной Хаббла».

[Нгаан]

что Вселенная не плоская, а, с вероятностью 99%, замкнута.

Что нам это даёт в практическом смысле? Может ли так оказаться, что отправивишись на "запад" в ходе большой галактической регаты, космены вернутся с "востока"?

[Bitman]

Что нам это даёт в практическом смысле? Может ли так оказаться, что отправивишись на "запад" в ходе большой галактической регаты, космены вернутся с "востока"?

Насколько я могу судить, теория Ньютона внесла со временем огромный вклад в физику и вообще в науку, притом что изначально она отвечала только на вопрос, как рассчитывать траектории движения планет. Так же и с торообразной вселенной - когда окажется, что наш трёхмерный мир это только плёночка на поверхности настоящего четырёхмерного мира, это позволит развиваться теоретической физике. Может, когда-нибудь мы научимся строить туннели для связывания разных краёв этой плёночки.

Отправлено спустя 2 часа 28 минут 19 секунд:

Читаю сейчас последнюю версию «Осциллирующей Вселенной» Горькавого. Согласно ней, «в 2020 году из анализа данных космической обсерватории «Планк» был сделан вывод, что Вселенная не плоская, а, с вероятностью 99%, замкнута

Там на форуме несколько ссылок на Горькавого, подскажите источник вашей цитаты.

[Bitman]

В тему топологии:



Интересно, как теория узлов выглядела бы для четырёхмерного пространства. Если не путаю, в четырёхмерном пространстве можно распутать любой узел из одномерной линии. А что с узлами из двумерной повехности?

[Весельчак Ы]

Bitman,

Disclaimer: я занимаюсь преимущественно общей топологией, а не маломерной, а мои знания теории узлов очень поверхностны и фрагментарны.

Если не путаю, в четырёхмерном пространстве можно распутать любой узел из одномерной линии.

Я тоже слышал об этом, но доказательства не видел. Впрочем, я его специально не искал.

Интересно, как теория узлов выглядела бы для четырёхмерного пространства. Если не путаю, в четырёхмерном пространстве можно распутать любой узел из одномерной линии. А что с узлами из двумерной поверхности?

Мне кажется, во многомерном случае под узлом должно пониматься вложение k (т.е инъективное непрерывное отображение) m-мерной сферы S^m в n-мерное евклидово пространство Rⁿ, n>m. Узел k распутывается, если существует такое непрерывное отображение F:Rⁿx[0,1], что

(1) для всех t из [0,1], отображение F(•,t), переводящее точку x в F(x,t), является гомеоморфизмом пространства Rⁿ;

(2) F(x,0)=x для всех x из Rⁿ;

(3) F(k(y),1)=k_0(y) для всех y из S^m, где k_0 – распутанный узел, например, естественное вложение S^m⸦R^m+1⸦Rⁿ сферы S^m в Rⁿ.

Для обычного узла m=1 и n=3. Уже теория обычных узлов довольно сложная, а общая теория, наверное, еще сложнее. Даже в случае m=2 и n=3 уже есть такие нетривиальные вложения как рогатая сфера Александера.

Allen Hatcher пишет в «Algebraic Topology»:

«As a special case of (b) we have the Jordan curve theorem: A subspace of S² homeomorphic to S¹ separates S² into two complementary components... One could just as well use R² in place of S² here since deleting a point from an open set in S² does not affect its connectedness. More generally, (b) says that a subspace of Sⁿ homeomorphic to S^n-1 separates it into two components ... . However, there are examples where these complementary components are not simply-connected, for example the well-known Alexander horned sphere in S³... . These complications involving embedded S^n-1’s in Sⁿ are all local in nature since any locally nicely embedded S^n-1 in Sⁿ is equivalent to the standard S^n-1⸦ Sⁿ, in the sense that there is a homeomorphism of Sⁿ taking the embedded S^n-1 onto the standard equatorial S^n-1, so in particular both complementary regions are homeomorphic to open balls; see [M.Brown] for a precise statement and proof of this. When n=2 it is a classical theorem of Schoenflies that this holds for arbitrary embeddings S¹⸦_→ S². ... By contrast, when we come to embeddings of S^n-2 in Sⁿ, even locally nice embeddings need not be equivalent to the standard one. This is the subject of knot theory, including the classical case of knotted embeddings of S¹ in S³ or R³».

Таким образом, насколько я понимаю, вложение S² в R⁴ может и не распутываться. А распутываться уже, возможно, будут вложения S² в R⁵ или даже R⁶.

Отправлено спустя 1 минуту 59 секунд:

Там на форуме несколько ссылок на Горькавого, подскажите источник вашей цитаты.

ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ-ВСЕЛЕННАЯ-Горькавый-электронная-версия-07-25-2023-1.pdf, с.10.

[Bitman]

Я тоже слышал об этом, но доказательства не видел. Впрочем, я его специально не искал.

Ну вообще по-моему это должно быть самоочевидно - если нитка лежит на нитке, чтобы переместить её под нитку, достаточно вытянуть её в четвёртое измерение, там протащить и вернуть в исходное трехмерное пространство.

Таким образом, насколько я понимаю, вложение S2 в R4 может и не распутываться. А распутываться уже, возможно, будут вложения S2 в R5 или даже R6.

Т.е. может распутываться, а может и не распутываться?
Что касается R5, тут наверно всё аналогично ниткам в R4 (см. выше), т.е. любой узел можно распутать.