Ложные аналогии в математике

[Bitman]

Мы тут обсуждали метод аналогий, и кажется пришли к выводу, что аналогии бывают “сильные” и “слабые” – другими словами, близкие и далёкие. Далее, любые аналогии позволяют делать предсказания, но они могут оказаться ложными.
Хотелось бы набрать примеров “слабых” аналогий в математике, и аналогий, которые заставляют делать ошибочные выводы.
Я читал, что в четырёхмерном пространстве есть один аналог круга-шара, один аналог квадрата-куба и бесконечное количество аналогов треугольника-тетраэдра. Это действительно так? Прямо не очень верится.

[Н. Светлов]

Я читал, что в четырёхмерном пространстве есть один аналог круга-шара, один аналог квадрата-куба и бесконечное количество аналогов треугольника-тетраэдра. Это действительно так? Прямо не очень верится.

Мне тоже не очень. Симплекс - он и есть симплекс. Множество всех векторов, компоненты которых не отрицательны и в сумме равны единице. Если компонентов три - получаем треугольник. Если четыре - тетраэдр. Если пять - четырёхмерную пирамиду. Откуда взяться бесконечному количеству аналогов - ума не приложу.

А в качестве примера слабых аналогий в математике могу привести нечёткую (иногда говорят - размытую) арифметику. Адекватность её ни одному практическому приложению ничем не подтверждена (imho). Использовать можно на свой страх и риск.

[Нгаан]

Использовать можно на свой страх и риск.

Кто-то уже контроллеры делает, а душа математика по прежнему требует строгих доказательств?

Далее, любые аналогии позволяют делать предсказания, но они могут оказаться ложными.

Если я правильно понимаю, речь идёт о "предсказаниях" поведения или состояния некоторого объекта?

Вставлю свои "пять копеек": построение программных моделей на основе описания объектов может служить примером?

Всякий объект реального мира обладает громадным (если не бесконечным) количеством свойств. Виртуальный объект содержит некоторое, возможно большое, но всегда конечное количество свойств в силу сугубо практических причин. Отбрасывание "несущественных" по мнению разработчика свойств реального объекта может привести к тому, что подобность этих двух объектов будет соблюдаться лишь частично, а значит в некоторых условиях их взаимная неадекватность приведёт к неправильным результатам.

[Sarkov]

Мне представляется, что аналогии могут использоваться как метод облегчения представления и восприятия каких- либо образов.
Сомнительно систематическое использование аналогии как метода познавания.

Древние медики- самоучки полагали, что раз листочек на почку похож - надо растение для болезни почек использовать, а если что красное, то значит для крови полезно. Подобные заблуждения, быть может, могли немало способствовать сокращению жизненного пути доверчивых клиентов.
Я всё чаще прихожу к мысле, что даже понятие аналог не имеет права на существование. Мы под ним подразумеваем, что такое же равнозначное, равноценное. Бриллианты ЮАР не являются аналогами Якутских бриллиантов. Это просто другие бриллианты.
Вряд ли мы сможем найти музыку аналогичную музыке Баха, Бетховена и других ярких индивидуальностей. Все похожее будет именоваться подражанием, плагиатом и т.п.
Мы можем найти замену недостающей нам вещи, но это будет заменитель. Эрзац. Эрзац имеющий частично похожие на искомые, а частично свои свойства.
"В мире компонентов нет эквивалентов"(с) и это так .
Можно конечно отрываясь от индивидуальных свойств рассуждать в общих понятиях, но тогда можно дойти до грубых ошибок или анекдотов:
"Давай подарим ему книгу?"
"Да у него уже есть одна...."

Используя аналогию всегда следует помнить, что это эрзац.

[Нгаан]

Я читал, что в четырёхмерном пространстве есть один аналог круга-шара, один аналог квадрата-куба и бесконечное количество аналогов треугольника-тетраэдра. Это действительно так? Прямо не очень верится.

На мой взгляд, здесь речь идёт об отображении пространств с меньшей размерностью в пространства с большей размерностью и наоборот. Если действовать по аналогии, то получается, что отображение отрезка на плоскости это множество всех возможных треугольников. Иными словами, наоборот: невозможно получить отображение треугольника в точку. Он всегда будет отображаться в отрезок некоторой длины.
Получается, что у отрезка существует бесконечное множество аналогий.


Что-то подобное наверное можно представить себе по отношению к треугольнику (плоской формы) и тетраэдру (четырёхгранной пирамиде), и наоборот.

[Bitman]

Я всё чаще прихожу к мысле, что даже понятие аналог не имеет права на существование.

Я тут не соглашусь, по крайней мере пока. Вы читали книги Докинза? Сила его книг заключается именно в мастерском использовании аналогий, причём и ложных тоже.
По-моему, любая философия основывается на аналогиях. Взять любую притчу Христа или Будды - и можно найти использование аналогии (например семя упало на землю - идея начала распространятся в обществе, и т.д.)

[Н. Светлов]

Сомнительно систематическое использование аналогии как метода познавания.

Он не годится как метод фальсификации гипотез. А вот как источник гипотез очень даже хорош. Если объект внешне похож на пилу, то гипотеза о том, что в отсутствие пилы удастся распилить бревно этим объектом, небезосновательна. Стоит попробовать.

А ещё, понятное дело, если два процесса описываются аналогичными формулами, то теорию, выведенную из этой формулы для одного процесса, не надо выводить заново для другого. Пример: теория гравитации Ньютона и "гравитационные" пространственные модели в эконометрике. Аналогия между гравитацией и товарными потоками очень приблизительная, но если эконометрическая проверка для конкретного рынка её подтверждает - можно не изобретать велосипед.

Кто-то уже контроллеры делает, а душа математика по прежнему требует строгих доказательств?

Из меня математик как из коровы балерина А нечёткая логика для нас, экономистов, хороша лишь тем, что она даёт безграничные возможности для манипуляции функциями принадлежности в целях очковтирательства. Никто же не знает, какими эти функции должны быть.

В принципе в тех случаях, когда известны только диапазон и модальное значение, можно использовать треугольные нечёткие числа - но почему не использовать треугольные распределения вероятностей (а лучше - бета-распределения)? Да, считать сложнее, но это вопрос компьютерных программ и численных методов - никто же в XXI веке не считает на счётах. Зато результаты будут иметь смысл, будут напрямую следовать из исходных данных в согласии с законами природы, а не с удобством расчётов.

Что же до контроллеров - раз есть спрос, то будет и предложение. В некоторых приложениях они могут работать, почему бы нет? Просто теория вероятности или, например, информационная энтропия в том же приложении, скорее всего, будет работать лучше, точнее.

Пожалуй, я могу всё-таки назвать одну область, где нечёткая арифметика может быть подходящей числовой моделью - это узкоспециализированные нейросети. Там переход к теории вероятности может дать прибавку результативности ценой неприемлемого замедления работы нейросети. Быть может, есть и другие сферы эффективного приложения нечёткой арифметики, мне не известные. Я сужу со своей кочки.

[Bond]

Я читал, что в четырёхмерном пространстве есть один аналог круга-шара, один аналог квадрата-куба и бесконечное количество аналогов треугольника-тетраэдра. Это действительно так? Прямо не очень верится.

В википедии пишут, что существует 6 правильных четырёхмерных многогранников, а вовсе не бесконечное количество...

[Sarkov]

про аналогии и мышление