Существование математических объектов (на правах философии)

[Bitman]

Я полагаю, всем интуитивно понятно такое рассуждение: мнимые числа “существуют в меньшей степени”, чем действительные, кватернионы в ещё меньшей степени, седенионы – в ещё меньшей, 1/0 в ещё меньшей и т.д. Я на dxdy предлагал оценить количественно “степень существования” разных математических объектов, но меня там не поддержали.
Попробую обосновать названное рассуждение. Предположим, мы выращиваем яблоки. Тогда для практических целей нам имеет смысл ввести модель – целые числа. Эти числа описывают количество яблок на каждой яблоне. Данная модель поможет делать какие-то предсказания и будет, очевидно, полезна.
Яблонь на Земле много, эта модель подходит для многих ситуаций. Но какую бы яблоню мы не взяли, мы не можем найти такую, на которой яблок отрицательное количество. Таким образом, в рамках данной модели отрицательных чисел не существует.
Теперь другая задача: предположим, мы строим дом. Для этого нам полезно ввести другую модель – действительное число, характеризующее высоту объекта над уровнем земли. В этой модели уже могут быть отрицательные числа – чтобы строить подвал, ими можно пользоваться.
И вот получается, что моделей, в которых отрицательных чисел не существует, гораздо больше, чем моделей, в которых они есть. Отсюда мы можем заключить, что отрицательные числа как бы “существуют в меньшей степени”. Очевидно, моделей, в которых есть мнимые числа, ещё намного меньше, и т.д.
Слабое место таких рассуждений – слова “этих моделей больше чем тех”. Модель – это нечто субъективное, модели придумываются человеком для решения каких-то задач. Или это всё же нечто объективное?
В случае с яблонями мы можем также утверждать, что числа гугол не существует, значит это число тоже в рамках “математики в целом” существует в чуть-чуть меньшей степени, чем число 1.

[Н. Светлов]

Ответ на этот вопрос содержится в моей подписи. Он очень прост и вполне отвечает требованиям научной строгости

[Bond]

Мнимые числа существуют в воображаемом мире, а он может быть ещё больше мира материального, просто понятие существования более широко, чем физическая реальность. Кстати, и насчёт подписи Светлова - воображаемые сущности могут оказаться очень даже реальными.

[Н. Светлов]

просто понятие существования более широко, чем физическая реальность

Вот Рассел и предлагает его сузить таким образом, чтобы им можно было пользоваться конструктивно Фактически эта его фраза - это определение (негативное) понятия существования.

[Весельчак Ы]

Bitman

Поскольку идеи существуют в наших головах, то я могу сформулировать квинтэссенцию Вашего поста так: более абстрактные объекты существуют менее, так как содержащих их голов меньше.

Я напоминаю, что прежде чем философствовать, хорошо бы сначала уяснить основания предмета размышлений и разобраться в значении употребляемых понятий, иначе философствование становится размахиванием руками. А так вопросы могут отпасть сами или же может обнаружится ложность оснований.

Вот, например, является ли объективное существование идеи просто её истинностью или чем-то большим?

Отправлено спустя 13 минут 2 секунды:
Н. Светлов

«— Теперь сядьте, положите руки перед собой. Не горбитесь, — сказала девочка и взяла кусочек мела. — Мы займёмся арифметикой... У вас в кармане два яблока...
Буратино хитро подмигнул:
— Врёте, число два является воображаемой сущностью, поэтому не может использоваться ни в одном истинном высказывании».
Бертран Рассел «Золотой ключик»

[Н. Светлов]

Врёте, число два является воображаемой сущностью, поэтому не может использоваться ни в одном истинном высказывании

К вопросу о квантовой запутанности: только час назад поминал оригинальную цитату из этого диалога (мысленно сокрушаясь о том, чему в XXI веке приходится учить студентов магистратуры). А оказывается, это просто некоторые мистики вчера сообщение набивали

А по существу Буратино прав, хотя его правота лежит не в области арифметики, а в области гносеологии. Яблоки, о которых говорит Мальвина, - воображаемые, и высказывание о том, что после воображаемой транзакции у Буратино останется одно яблоко, не истинно, потому что если мы заглянем в карман действительному Буратино, мы не найдём подтверждения "истинному", типа, высказыванию.

Если бы Мальвина сопроводила свою задачу настоящими яблоками, тогда утверждение было бы истинным, но оно было бы утверждением о яблоках, а не о числе два.

Ну, а в арифметике, пока она не интерпретирована в реальный мир, нет и быть не может истинных высказываний: есть теоремы и не теоремы. 2+2=4 - теорема. 2+2=5 - не теорема. Чего же боле?