Детерминизм и демон Лапласа

[Bitman]

Начну с того, что с практическими моделями демона Лапласа многие знакомы: это так называемая молекулярная динамика – раздел компьютерной химии, позволяющей предсказывать свойства жидкостей.
Тут уже обсуждалась, что у концепции “Демона Лапласа” есть серьёзный баг: такой демон должен оперировать бесконечным количеством информации, а это делает его слишком абстрактным.
Первый вариант решения этой проблему я уже предложил – придумать клеточный автомат, относительно более-менее близкий к реальности.
Есть ещё один подход: предположим, наш демон действительно абсолютно точно рассчитывает всю систему, но с течением времени количество информации, которое ему нужно для описания системы, возрастает. И тогда ужа возникает вопрос – как оно возрастает (например экспоненциально)?
Для простых случаев придумать демона Лапласа нетрудно. Например, бильярдный шар двигается в прямоугольном поле без трения. Тогда можно просто вместо действительных чисел обойтись целыми.
Но как только мы вводим притяжение или отталкивание, целые числа превращаются, как я полагаю, в иррациональные из-за того, что притяжение/отталкивание обратно пропорционально квадрату расстояния (т.е. демон должен производить деления). Я вначале подумал, что координаты частиц у него будут описываться всё более сложными дробями, но видимо тут будут иррациональные числа, если не трансцендентные.
Тем не менее, если числа будут иррациональными, координаты и импульсы каждой частицы можно будет определить как корень некоего уравнения, для описания которого достаточно конечного количества информации. Естественно, с каждым тактом эти уравнения будут становиться всё сложнее.
Увы, и такой вариант наверно не пройдёт из-за необходимости вводить эти такты, т.е. квантовать время.
Далее. Для отдельных простых случаев, например вращение одной планеты вокруг земли, демон Лапласа будет вполне работать, т.к. эта мини-вселенная описывается системой дифференциальных уравнений, и для случая двух частиц, как я понимаю, эту систему можно решить абсолютно точно (говоря точнее - аналитически). А уже с тремя частицами разделить переменные не удастся. Но является ли эта проблема (невозможность разделить переменные) совершенно фундаментальной и непреодолимой? Может, современная математика просто не доросла ещё до уровня, когда будет можно? Это вообще отдельная тема, мне интересен этот вопрос: почему с тремя частицами решение становится неизмеримо сложнее, чем с двумя?

[Весельчак Ы]

Для отдельных простых случаев, например вращение одной планеты вокруг земли, демон Лапласа будет вполне работать, т.к. эта мини-вселенная описывается системой дифференциальных уравнений, и для случая двух частиц, как я понимаю, эту систему можно решить абсолютно точно (говоря точнее - аналитически). А уже с тремя частицами разделить переменные не удастся. Но является ли эта проблема (невозможность разделить переменные) совершенно фундаментальной и непреодолимой? Может, современная математика просто не доросла ещё до уровня, когда будет можно? Это вообще отдельная тема, мне интересен этот вопрос: почему с тремя частицами решение становится неизмеримо сложнее, чем с двумя?

В квадратурах дифференциальные уравнения решаются лишь в очень простых и редких, т.е. в исключительных случаях. Простые аналитические решения даже специально перечисляются (напр. Andrei D. Polyanin, Valentin F. Zaitsev. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations, second edition, Chapman and Hall/CRC, 2003). Поэтому в общем виде решения дифференциального уравнения ищется либо аналитически, в виде ряда суммы функционального ряда (напр. степенного или тригонометрического), либо вычисляется численно и приближенно.

Видимо, невозможность решить общее дифференциальное уравнение в квадратурах, получить его простое аналитическое решение или же разделить в нём переменные совершенно фундаментальна и непреодолима, поскольку предопределена структурой уравнения. Т.е. эти предопределённость, фундаментальность и непреодолимость такой же природы как иррациональность квадратного корня из двух, невозможность решения геометрических задач античной Греции на построение (с помощью лишь циркуля и линейки осуществить квадратуру круга, трисекцию угла или удвоение куба), или же неразрешимость в радикалах общих алгебраических уравнений степени выше четвёртой (в отличие, например, от квадратных уравнений).

Есть ещё один подход: предположим, наш демон действительно абсолютно точно рассчитывает всю систему, но с течением времени количество информации, которое ему нужно для описания системы, возрастает. И тогда ужа возникает вопрос – как оно возрастает (например экспоненциально)?

В теории дифференциальных уравнений речь идёт не об информации, а об устойчивости решений. Вот вам пара страниц (203, 204) из первой же взятой книги по дифференциальным уравнениям (Эльсгольц Л. «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»). И для неустойчивых решений возможен эффект бабочки, когда сколь угодно малые отклонения от начальных значений рано или поздно приведут к ощутимым отклонениям в траектории.

Я уверен, что в классической механике детерминизм есть; тройное соударение шаров это бифуркации, но в любом случае, если бы имелся абсолютно точный расчёт, он бы и предсказал всё абсолютно точно.

Я подозреваю, что цена этой уверенности примерно равна цене интуиции того, что все нечетные числа простые, поскольку неединственность решения при тройном соударении это математический факт. Не все задачи Коши для дифференциальных уравнений имеют единственное решение, даже если они решаются аналитически (например, задача Коши y’’=0, y(0)=0 имеет семью решений y=ax, где a – произвольное действительное число). Даже такой мощный инструмент как теорема Коши-Ковалевской о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных относится к локальному решению.

[Bitman]

или же неразрешимость в радикалах общих алгебраических уравнений степени выше четвёртой (в отличие, например, от квадратных уравнений).

Вот тут я хочу не согласиться.
Эти уравнения нельзя решить в том смысле, чтобы представить решение в виде формулы из стандартных матфункций - корней и т.п. Но если бы мы придумали какой-нибудь "гиперсинус" или "гиперкорень", мы могли бы выразить решение в таком виде. Не будет принципиальной разницы между обычным синусом и "гиперсинусом": и то и то находится как сумма сходящегося ряда.
Это как с интегрированием в общем случае: некоторые интегралы не берутся, но с точки зрения вычисления интеграла через ряд Фурье между ними (интегралами) нет разницы.

[Весельчак Ы]

Да, конечно. Запас используемых функций можно расширить включением так называемых специальных функций (см. напр. гл. 21, Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров», перевод со второго американского переработанного издания М.: Наука, 1973). Г.М. Фихтенгольц завершает первый том своего основательного «Курса дифференциального и интегрального исчисления словами: «Заканчивая этим изучение функции «Гамма», мы видим, что, исходя из ее представления с помощью интеграла, содержащего параметр a, мы не только ознакомились с глубокими ее свойствами, но и научились вычислять ее. Новая функция эта является в такой же мерой освоенной нами, как и элементарные функции».

[Bitman]

Весельчак Ы,
Мне иногда кажется что суть любой математики - это оптимизация всевозможных вычислений.
Я программист, сейчас как раз переделываю старый код с целью оптимизации, и возникает вопрос, где проходит грань между математикой и Computer Science, если и то и то одинаково нужно для оптимизации каких-либо вычислений.
И я скорее верю, что рано или поздно произойдёт прорыв в математике и мы научимся сравнительно быстро решать произвольные дифференциальные уравнения (подобно тому как формула Кардано превратила творческую задачу - решение уравнений третьей степени - в рутинную и лёгкую).

[Bond]

Но является ли эта проблема (невозможность разделить переменные) совершенно фундаментальной и непреодолимой? Может, современная математика просто не доросла ещё до уровня, когда будет можно? Это вообще отдельная тема, мне интересен этот вопрос: почему с тремя частицами решение становится неизмеримо сложнее, чем с двумя?

Скорее надо ставить вопрос, почему с двумя переменными всё так просто? Если кое-где природа подкидывает нам халяву с возможностью аналитического решения задачи, то это скорее исключение, чем правило.

[Bitman]

Я подозреваю, что цена этой уверенности примерно равна цене интуиции того, что все нечетные числа простые, поскольку неединственность решения при тройном соударении это математический факт.

Я думал об этом и пришёл к интересным выводам.
Моделью демона Лапласа может служить бильярдный компьютер:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0 ... 0%B5%D1%80

В этой модели по квадрату двигаются бильярдные шары, которые упруго отталкиваются друг от друга; поскольку они взаимодействуют только в моменты соударений, разом отпадает необходимость решать дифференциальные уравнения.
Тем не менее, такая модель всё-таки не годится для бильярдного автомата, поскольку после каждого соударения новые импульсы шаров будут описываться, как я понимаю, иррациональными числами. Наша задача – придумать модель, в который не требуется постоянно увеличивать память для абсолютно точного описания системы.
Немного упростим бильярдный компьютер: пусть в нём двигаются не круги, а квадраты, которые отталкиваются друг от друга либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении. Или даже сделаем ещё проще: пусть у нас пока модель будет одномерная. В ней ведь всё равно будет работать второе начало термодинамики: если в начале все частицы (отрезки, строго говоря) сосредоточены в малой области пространства, то с течением времени они разойдутся по всему пространству.
Итак, мы имеем одномерный бильярдный компьютер, координаты и импульсы “частиц” (точнее - отрезков) которого описываются целыми числами. Будем для удобства называть их частицами. Если массы частиц одинаковы, решения выйдут слишком банальными и то, о чём я напишу ниже, не получится.
Пусть у нас есть частица A массой 3, двигающаяся со скоростью +30 (направо), и частица B массой 1 справа от неё, двигающаяся со скоростью -10 (налево). После столкновения скорости частиц A и B будут соответственно -20 и +20. Закон сохранения импульса соблюдён, закон сохранения энергии тоже.
Но для решения этой задачи согласно законам Ньютона нам понадобилось деление. Вот более понятный пример: если скорость первой частицы вначале была 0, второй -1, то после столкновения скорость первой получается -0.5, второй +0.5. Нам пришлось перейти от целых чисел к дробям, а это значит что наш автомат вынужден выделять больше памяти для абсолютно точного запоминания (описания) состояния системы.
Значит, строго в законах Ньютона построить такой автомат невозможно.
Тогда предположим, что в нашей модели происходит округление, за счёт того что отталкивание частиц будет чуть сильнее. Пусть после этого столкновения скорость первой частицы будет -1, второй +2. Мы спасли закон сохранения импульса, но не спасли закон сохранения энергии (а я и так знал что ВД1 возможен) ).
Так вот такой автомат вроде как может работать, но у меня сильное ощущение, что при тройных соударениях получается лажа и детерминизм всё-таки не выйдет. Тут надо ещё подумать.
У меня вопрос ещё раз по этой фразе:

неединственность решения при тройном соударении это математический факт

Есть ли экспериментальные свидетельства данного тезиса? Или всё, что я написал выше, давно известно?

[Весельчак Ы]

В этой модели по квадрату двигаются бильярдные шары, которые упруго отталкиваются друг от друга; поскольку они взаимодействуют только в моменты соударений, разом отпадает необходимость решать дифференциальные уравнения.

Я думаю, что при расчете состояния шаров после соударения без решения задачи Коши для дифференциальных уравнений, а лишь на основе законов сохранения детерминизма будет не больше, так как эти ограничения, наверно, не сильнее, и выводятся из решений уравнений.

Тем не менее, такая модель всё-таки не годится для бильярдного автомата, поскольку после каждого соударения новые импульсы шаров будут описываться, как я понимаю, иррациональными числами. Наша задача – придумать модель, в который не требуется постоянно увеличивать память для абсолютно точного описания системы.

Я до конца не уверен ни в первом (что после каждого соударения новые импульсы шаров будут описываться иррациональными числами), ни во втором (что в этом случае придется бесконечно увеличивать количество битов для точного описания состояния системы).

Немного упростим бильярдный компьютер: пусть в нём двигаются не круги, а квадраты, которые отталкиваются друг от друга либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении. Или даже сделаем ещё проще: пусть у нас пока модель будет одномерная. ... Итак, мы имеем одномерный бильярдный компьютер

Не уверен, что при таких ограничениях можно будет создать столь же богатую вычислителную систему как бильярдный компьютер.

В ней ведь всё равно будет работать второе начало термодинамики: если в начале все частицы (отрезки, строго говоря) сосредоточены в малой области пространства, то с течением времени они разойдутся по всему пространству.

А разве в бильярдном компьютере шары не двигаются всё время в ограниченной области, отражаясь от её стенок?

Пусть у нас есть частица A массой 3, двигающаяся со скоростью +30 (направо), и частица B массой 1 справа от неё, двигающаяся со скоростью -10 (налево). После столкновения скорости частиц A и B будут соответственно -20 и +20. Закон сохранения импульса соблюдён, закон сохранения энергии тоже.

При таких значениях скоростей ни соблюдён ни первый, ни второй. Суммарный импульс до соударения 3*30-1*10=80, после соударения 3*(-20)+1*(20)=-40, суммарная энергия до соударения (3*30^2+1*10^2)/2=1400, после соударения (3*20^2+1*20^2)/2=800.

Но для решения этой задачи согласно законам Ньютона нам понадобилось деление. ... Нам пришлось перейти от целых чисел к дробям, а это значит что наш автомат вынужден выделять больше памяти для абсолютно точного запоминания (описания) состояния системы.

Но не факт, что и дальше при соударениях количество битов для описания состояния системы будет неограниченно возрастать.

Тогда предположим, что в нашей модели происходит округление, за счёт того что отталкивание частиц будет чуть сильнее. Пусть после этого столкновения скорость первой частицы будет -1, второй +2. Мы спасли закон сохранения импульса, но не спасли закон сохранения энергии

Тогда мы имеем уже не физическую модель, а абстрактный автомат.

а я и так знал что ВД1 возможен

Эмм?

у меня сильное ощущение, что при тройных соударениях получается лажа и детерминизм всё-таки не выйдет.

Тройные соударения это экзотика, поэтому я думаю, что в бильярдном компьютере их наверняка нет.

Есть ли экспериментальные свидетельства данного тезиса?

Нет, поскольку ни идеальных шаров, ни математически точных тройных соударений в природе не существует.

[Bitman]

При таких значениях скоростей ни соблюдён ни первый, ни второй. Суммарный импульс до соударения 3*30-1*10=80, после соударения 3*(-20)+1*(20)=-40, суммарная энергия до соударения (3*30^2+1*10^2)/2=1400, после соударения (3*20^2+1*20^2)/2=800.

Виноват, я опечатался. Это в системе отсчёта, в которой я решал уравнения, получились такие скорости. А в исходной системе отчёта скорость первого после столкновения будет +10 и скорость второго +50.

Но не факт, что и дальше при соударениях количество битов для описания состояния системы будет неограниченно возрастать.

Думаю что факт. Я надеюсь со мной согласятся, что это действительно интересные рассуждения (возможно полезные для фундаментальной физики).

Эмм?

Я конечно не конца серьёзно всё это пишу, но я вполне допускаю возможность создания ВД1 (по-моему это следует уже из CPT-теоремы), а данное рассуждение сводится к тому, что бильярдный компьютер с демоном Лапласа можно создать, только отказавшись от закона сохранения энергии или закона сохранения импульса (или и того, или другого вместе).

[Весельчак Ы]

Думаю что факт.

Я немного разбираюсь в этих вещах, и не уверен что это так. Здесь нужно смотреть на алгебраической модели.

Я надеюсь со мной согласятся, что это действительно интересные рассуждения (возможно полезные для фундаментальной физики).

Не думаю, что сложность битовой записи значений физических величин имеет значение для фундаментальной физики. Ведь для неё это просто числа.

я вполне допускаю возможность создания ВД1 (по-моему это следует уже из CPT-теоремы)

Эмм... а что, из CPT-теоремы следует нарушение закона сохранения энергии?

бильярдный компьютер с демоном Лапласа можно создать, только отказавшись от закона сохранения энергии или закона сохранения импульса (или и того, или другого вместе).

Насколько я понимаю, уже предложенная модель бильярдного компьютера и детерминирована (как логическая модель компьютера) и удовлетворяет законам сохранения (как физическая модель). И, как я уже писал, если их отбросить, то будет уже не физическая модель, а абстрактный автомат.

[Bitman]

А разве в бильярдном компьютере шары не двигаются всё время в ограниченной области, отражаясь от её стенок?

Ну да, я говорю о случае, когда шары вначале сосредоточены в малой области пространства, с когда наступает "тепловая смерть", они равномерно двигаются по всему пространству (которое может быть ограничено стенками, или периодическими граничными условиями).

Эмм... а что, из CPT-теоремы следует нарушение закона сохранения энергии?

Думаю, это нарушение следует из любой асимметрии фундаментальных законов физики относительно времени)
Строго доказать это пока не могу, пока только такие мысли:
Если есть симметрия и есть законы сохранения - всё ок.
Если есть симметрия и нет законов сохранения - так не может быть, поскольку отсутствие законов сохранения означает именно нарушение симметрии (суммарная энергия вселенной в прошлом и будущем отличается)
Если нет симметрии и есть законы сохранения - очень сомневаюсь, что это возможно, по крайней мере интуитивно
Если нет симметрии и нет законов сохранения - всё ок.

Насколько я понимаю, уже предложенная модель бильярдного компьютера и детерминирована (как логическая модель компьютера) и удовлетворяет законам сохранения (как физическая модель). И, как я уже писал, если их отбросить, то будет уже не физическая модель, а абстрактный автомат.

Нам нужен бильярдный компьютер, который хранит полное и абсолютно точное описание состояния системы неопределённо долго.
Я слышал что давно создавались программы для иллюстрации обратимости законов физики (симметрии) в контрасте с асимметрией второго начала термодинамики. Берётся тот же бильярдный компьютер, с запоминающимся начальным состоянием - например, капля падает в море. Через какое-то время работы этого компьютера импульсы всех частиц инвертируются. Тогда система должна сама прийти в начальное состояние (частицы в море собираются в каплю и поднимаются вверх). Так вот эти программы обычно не работают как надо из-за накопления ошибок.