Решение задач

Сообщение **Alex Ivanov** » 24.04.2025, 11:07

У моего сына в 4-м классе на экзамене по математике была вот такая интересная задача: "Найти число меньше 100 которое при делении на 9 дает остаток 8 и при делении на 7 дает остаток 6."

Я попробовал ее решить. Решил сначала простым перебором. Потом решил составить уравнение. Ничего не получилось.
Потом подумал что для ребенка 4-го класса решение должно быть простым и быстрым потому что экзамен ограничен по времени. Нужно решить еще 10 других задач. Поэтому решение одной задачи должно занимать 3-4 минуты.

После долгого размышления я понял что решение находится в условиях задачи. Если известно что искомое число делится и на 9 и на 7, то нужно просто их перемножить и вычесть один потому что оба остатка меньше делителя на один.

Сообщение **skor** » 24.04.2025, 12:33

Решение для 4-го класса
Числа из диапазона (0, 100), которые при делении на 9 дают остаток 8:
8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 89, 98.
Числа из диапазона (0, 100), которые при делении на 7 дают остаток 6:
6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97.
Общее число -- 62.

Решение для 11-го класса
Чтобы было интереснее, будем искать все такие $x$ , которые при делении на 9 дают остаток 8, а при делении на 7 дают остаток 6.

Запишем систему уравнений:
$\begin{cases} x = 8 + 9n, \\ x = 6 + 7m. \end{cases}$
Значения переменных $x$ , $m$ и $n$ -- натуральные числа.

Исключая из системы $x$ , получаем:
$6 + 7m = 8 + 9n.$

Перейдя к сравнениям по модулю 9, мы можем исключить переменную $n$ :
$6 + 7m \equiv 8 \pmod{9}.$

Вычитаем 6 из обеих частей уравнения:
$7m \equiv 2 \pmod{9}.$

Самое сложное и нетривиальное в этом решении -- это то, что нужно догадаться домножить обе части уравнения на 4, чтобы в левой части образовалось $28m$ , которое по модулю 9 будет равно $m$ :
$\begin{align} &4 \cdot 7m \equiv 4 \cdot 2 \pmod{9}, \\ &28m \equiv 8 \pmod{9}, \\ &m \equiv 8 \pmod{9}. \end{align}$

Перейдя обратно из модульной арифметики в обычную, мы получаем выражение для $m$ :
$m = 8 + 9s, \; s \in \mathbb{N}.$

Подставляя $m$ во второе уравнение системы, получаем:
$\begin{align} x &= 6 + 7(8 + 9s) \\ &= 6 + 56 + 63s \\ &= 62 + 63s. \end{align}$

Таким образом, число $x$ может принимать значения:
$62, 125, 188, 251, 314, \ldots$

Романтики.Ру