Непостижимая эффективность математики в естественных науках

[Весельчак Ы]

Это, видимо, уже классическое выступление Вигнера в мае 1959 года.

[Н. Светлов]

Мне проблема кажется преувеличенной (хотя это преувеличение, imho, полезно своей провокационностью: оно будит любопытство и тем самым работает в пользу науки).

Основная проблема здесь заключается в том, что длинные цепочки рассуждений, приводящих к успешно проверяемой опытом импликации, относятся к миру принципиально внеэкспериментальному. Например, если на шаге N мы выполняем операцию над комплексными числами - мы не можем (по крайней мере, в общем случае) поставить опыт, соответствующий этой операции, поскольку в реальном мире ничто не измеряется комплексными числами.

Но эта проблема "не страшнее" приводимого в "Большом, малом и человеческом разуме" примера с проверкой исправности детонатора. Требуемая информация об исправности детонатора вообще возникает благодаря процессам, происходящим "где-то вне" мира, доступного наблюдению (или, если признать, что другой реальности, кроме наблюдаемой, не существует, - то благодаря вообще не происходящим процессам). "Не страшнее" она и проблемы виртуальных частиц, предположение о существовании которых подтверждается исходом тысяч опытов, но которые, однако, не обладают наблюдаемостью, то есть в наблюдаемой реальности не существуют.

Я уже свыкся с мыслью о том, что реальность существенно больше наблюдаемой реальности. Простейший пример ненаблюдаемой реальности - то, что спрятано за горизонтом событий. Но, вероятно, понятие горизонта событий, пришедшее из ОТО, на самом деле гораздо содержательней. Возможно, было бы правильным провести горизонт событий между нашей реальностью и всем, что мельче планковской длины. Возможно, свой горизонт событий проводят квантовые законы: всё, что не квантовано, остаётся за ним. Возможно, наконец, что за ещё одним горизонтом событий прячется всё то, что не подчиняется известным нам законам сохранения… За каким-то горизонтом событий прячутся физические аналоги промежуточных математических выкладок, озадачивающие Вигнера. Вместе с тем сама математика не воспроизводила бы даже элементарные факты наблюдаемого мира, если б она не воспроизводила факты Метамира, потому что наблюдаемый мир получается "вырезкой" из Метамира его части по какому-то определённому принципу и наследует во всей полноте его свойства, дополненные, сверх того, своими. Таким образом, аксиомы теории чисел являются хорошей моделью Метамира, а эмпирические физические законы - правилом "вырезания" из Метамира наблюдаемой реальности.

Отсюда нельзя делать вывод, что Метамир вполне описывается математикой. Во-первых, потому, что Метамир может быть и сам "вырезан" из Метаметамира, описываемого каким-то ещё более простым формализмом; во-вторых, нет уверенности ни в том, что математика охватывает свойства Метамира с достаточной полнотой, ни в том, что она не приписывает ему свойств, которые ему на деле не присущи (например, какую-то часть свойств наблюдаемой реальности).

Рискну пойти ещё дальше в этом рассуждении: операция "вырезания" наблюдаемой реальности из Метамира может иметь не физическую или, вернее, не только физическую природу. Возможно (и мне кажется вполне вероятным), что границы наблюдаемой реальности в Метамире определяются (помимо физических причин, устанавливающих горизонты событий) неким набором условий, совместимых с феноменом сознания, каким мы его знаем.

Возможно, для сознания слишком много чести определять через него границы мира феноменов. Возможно (и даже скорее всего), мир феноменов - это та часть Метамира, где, благодаря сочетанию подходящих для того условий, "физически возможно" измерение в том смысле, в котором оно понимается в квантовой механике (и где, следовательно, это понятие допускает содержательную интерпретацию).

[Весельчак Ы]

Н. Светлов

Я буду потихоньку готовить Вам подробный ответ, а пока я хочу предложить Вашему вниманию последний абзац моего микрообзора об истории представлений о математическом фундаменте мироздания.

Добавлено спустя 2 часа 54 минуты 33 секунды:
Re: Непостижимая эффективность математики в естественных науках

И еще нехитрые замечания про подгонку наших теорий под Мир.

[Весельчак Ы]

Итак, найденный мной ответ на вопрос Вигнера имеет две стороны.

«Суть того, во что неколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы. Даже в далеком прошлом такая предпосылка неизменно получала подтверждения, превосходившие самые смелые ожидания».
(из главы "Непостижимая эффективность математики" книги "Математика. Поиск истины" Мориса Клайна

«– Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание фрегевских абстрактных концепций и вневременной объективной реальности.
– Математическое знание погрешимо. Подобно науке, математика прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос).
– Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Использование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.
– Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике».
Hersh R. «The fresh wind in the philosophy of mathematics». P. 590, 591., цит. по В.В. Целищев "Поиски новой философии математики".

[Н. Светлов]

Итак, найденный мной ответ на вопрос Вигнера имеет две стороны.

По "второй стороне" вполне согласен; и мне представляется, что она имеет больше шансов относиться к делу, чем первая.

А "первая сторона" неявно полемизирует с версией, что гармонию, порядок в наблюдаемый мир вносит наблюдатель. Между тем почти очевидно, что наблюдатель рождается не просто так себе, а с неким формализмом в голове; а родившись, накладывает этот формализм на окружающий мир и знать не желает (и знать не может) ничего того, что в этот формализм не вписывается.

Откуда гармония в головах - более-менее понятно. Из эволюции. Головы, в которых был дефицит гармонии, давно почили в бозе. Откуда могла бы взяться гармония в мире - большой вопрос. Пожалуй, потребовалось бы допустить возникновение и гибель гуголов в гуголовой степени миров, из которых выжили только достаточно гармоничные. Такое допущение меня не коробит, но и необходимости в нём я не ощущаю.

Признание носителем гармонии наблюдателя, вообще говоря, не исключает некой гармонии, присущей самому миру; более того, какой-то минимум гармонии (быть может, капля гармонии в океане хаоса), по-видимому, требуется для запуска эволюции, результатом которой стало появление формализма в головах. Но это сразу понижает минимальные требования к степени "волшебности" гармонии мира до уровня, не вызывающего каких-то особых восторгов и удивлений.

Мысль о формализме в голове я готов развить далее. Это не просто вам какой попало формализм! По-моему, суть дела заключается в том, что человек рождается с аксиомами теории чисел (или чем-то похожим) в голове, но без теорем; и человечеству ничего не остаётся, как выводить из биохимически прошитых аксиом теоремы, ставить их себе на службу (других слуг у него просто нет) и таким образом познавать себя (и лишь постольку - мир). Если бы человек родился с аксиомами какого-то другого формализмом в голове, достаточного для выживания, - он бы, пожалуй, принялся рассуждать о непостижимой эффективности другого формализма

Отправлено спустя 7 минут 1 секунду:
А вот простой пример поразительной неэффективности математики

Движение шахматных фигур по доске ни одного физического закона не нарушает и следует очень простым правилам. А пожалте-ка мне траекторию движения шахматных фигур в пространстве, отвечающую оптимальной стратегии партии в шахматы?

Что? Это не предмет естественной науки? Тогда, значит, наука признаётся естественной только в том случае, если математика в применении к ней эффективна? Вот и разгадка!

Отправлено спустя 7 минут 19 секунд:
А вот ещё одно соображение, очень простое. Корпускулы, из которых состоят мозги, переходят из одного состояния в другое по тем же законам, по которым переходят из одного состояния в другое корпускулы вне мозгов. И если такое движение корпускул в мозгах имеет результатом доказанную теорему или выведенную формулу, то нет ничего удивительного, что этому результату найдётся аналог вне мозга - результат движения других корпускул в каком-то другом углу вселенной, будь этим другим углом коллайдер, нейтронная звезда или червячок, жрущий яблоко

[Весельчак Ы]

Нынче, как махровый иррационалист и радикальный агностик я душой с Вами, однако я буду играть на пару с Оккамом. В частности, я противник теорий Эверетта, Линде и Тегмарка. С другой стороны, я противник глубины антропного принципа.

Мое первое возражение онтологическое. Все эти идеологии объясняют гармоничность нашего мира исходя из предположения, что априорно наш мир может быть любым мыслимым миром. Однако, это предположение неверно, ибо априорно наш мир единственный, такой, какой он есть и первичен он, а не наше мышление. Поэтому на заявления о том, что мир должен соответствовать нашим представлениям о разумности, правильности или справедливости, я отвечаю, что мир ничего нам не должен.

Мое второе возражение гносеологическое. Для объяснения невероятности гармоничности нашего мира, мы можем просто предположить, что существуют мириады невзаимодействующих с ним миров, а затем отметить, что только в достаточно гармоничных мирах могут существовать разумные существа, строящие теории мироздания. Размышлять о таких вещах, конечно, можно, но зачем? Ведь роль наших теорий не в экзерсисах «сколько ангелов уместятся на кончике иглы?», поскольку они ценны для нас тем, что они нам дают, а не тем, чего они нам не дают. За это я уважаю позитивистские или фальсификационистские критерии научной демаркации, отсекающие разные домыслы.

Гармоничность не всеобща, но там, где мы ее находим, она есть. В качестве развития идеи гармоничности, вносимой наблюдателем я могу предложить Вашему вниманию мои студенческие рассуждения о вечном двигателе. Касательно размышлений о генезисе гармоничности, то мне кажется, что они исходят из того, что миру уже присущи порядок и однородность (т.е. некоторая гармоничность), допускающие дальнейшую гармонизацию (его или его частей).

Математика синтетически эффективна потому, что миру присуща гармония, а не потому, что мы используем в ней (какой-то конкретный) формализм. И не надо смешивать синтетическую эффективность с аналитической. Если, конечно, на считать все аналитические утверждения синтетическими на том основании, что они говорят об изменении состояний корпускул в мозгах математика, расположения молекул мела или чернил в доказательствах теорем или движении шахматных фигур по доске в партии гроссмейстера; а затем имплицировать синтетическую неэффективность из формальной неполноты (по Теореме Гёделя, в любой достаточно сильной рекурсивно аксиоматизируемой формальной системе найдутся невыводимые и неопровержимые предложения) или алгоритмической сложности (следующей из Постулата Чёрча об эквивалентности формализаций алгоритма и существования сколь угодно сложно решаемых проблем для машины Тюринга (точнее, для любой вычислимой функции f(n)>=n существует разрешимая проблема А, такая, что нет машины Тюринга, решающей А за время f или память f)).

[Н. Светлов]

Поэтому на заявления о том, что мир должен соответствовать нашим представлениям о разумности, правильности или справедливости, я отвечаю, что мир ничего нам не должен.

Тезис о том, что мир должен соответствовать нашим представлениям о разумности, я не использую. Я говорю о том, что каким бы мир ни был, мы способны познавать только то в нём, что соответствует формам, которыми оперирует или потенциально может оперировать наше мышление.

Простой пример (из "Генератора Времени"): могут ли существовать явления природы, несовместимые с фактом их наблюдения? Я не вижу ни одной причины, по которой такие явления не могли бы существовать. Квантовая механика даёт конкретные примеры таких явлений. И она же говорит нам, что ненаблюдаемость ещё не означает непознаваемость, но гарантирует, что ненаблюдаемые явления не поддадутся наблюдению при помощи сколь угодно изощрённой техники. Продолжаем эту мысль. Могут ли существовать явления природы, несовместимые с фактом их осмысления? Если эту мысль отрезать бритвой Оккама (чему я не стал бы возражать), то из этой операции ответ вытекает сам собой: именно бритва Оккама ответственна за непостижимую эффективность математики в естественных науках, именно ею мы отсекаем зону неприменимости математики, если таковая объективно существует. Именно бритва Оккама привносит в познаваемый мир наблюдаемую нами гармонию, вырезая гармоничный фрактал из всего действительно сущего.

Можно ли предположить, что бритва Оккама ничего не отрезает, что существует только то, что она не отсекла? Да, можно, но я бы отсёк эту гипотезу бритвой Оккама.

Мое второе возражение гносеологическое. Для объяснения невероятности гармоничности нашего мира, мы можем просто предположить, что существуют мириады невзаимодействующих с ним миров, а затем отметить, что только в достаточно гармоничных мирах могут существовать разумные существа, строящие теории мироздания. Размышлять о таких вещах, конечно, можно, но зачем?

Так ведь я в своём предыдущем сообщении как раз и пишу о том, что эта гипотеза не требуется. Она становится актуальной, только если отказаться от версии ограниченности познаваемого мира познавательными способностями людей. Для такого отказа, imho, явно нет оснований (если только не принять на уровне дефиниции, что существующее - это подмножество мыслимого; но, спрашивается, зачем это принимать? только ради того, чтобы спасти идею гармоничности бытия?).

Математика синтетически эффективна потому, что миру присуща гармония

Для синтетической эффективности математики достаточно того, чтобы части мира (сколь угодно малой в отношении к целому) была присуща гармония. Такой вариант мне кажется вполне правдоподобным.

И не надо смешивать синтетическую эффективность с аналитической.

Это у меня юмор такой

на том основании, что они говорят об изменении состояний корпускул в мозгах математика

А в этой шутке может всё-таки заключаться и какая-то доля правды. Другое дело, что этого основания явно недостаточно - хотя бы потому, что есть вполне физическая разница между взрывом сверхновой и взрывом мозга Но всё же не исключено, что физика мозга накладывает некие ограничения на то множество формализмов, которыми могут быть наделены живые существа, причём самые эффективные формализмы оказываются внутри этих ограничений, а не вне, именно потому, что физика мозга и физика мира суть одно и то же.

[Bitman]

Откуда могла бы взяться гармония в мире - большой вопрос. Пожалуй, потребовалось бы допустить возникновение и гибель гуголов в гуголовой степени миров, из которых выжили только достаточно гармоничные. Такое допущение меня не коробит, но и необходимости в нём я не ощущаю.

Я об этом писал уже давно, попробую сформулировать лишний раз. Эти гуголы миров гибнут из-за парадоксов нарушения причинно-следственной связи - по той причине, что в них зарождаются цивилизации, достаточно развитые, чтобы построить машину времени, но недостаточно ответственные, чтобы установить жёсткие ограничения на использование этой машины.

Сейчас человечество называют обезьяной с гранатой. Если и дальше будет продолжаться технологический прогресс без прогресса морального, то в дальнейшем человечество станет обезьяной с атомной бомбой, потом – обезьяной с аннигилятором, а потом – обезьяной с машиной времени, которая может разрушить весь пространственно-временной континуум. И подобно тому как вселенная (согласно принципу самосогласованности) защищается от парадоксов нарушения причинно-следственной связи, она защищается и от возникновения таких цивилизаций. А защищается, видимо, таким образом – закладывая в разумных существах потенциальную тягу к добру (которая высвобождается, например, по мере роста культуры), и обеспечивая разумным существам относительно комфортное существование.
Для меня это не то чтобы конкретная теория, а скорее просто удачная идея, аналогия, которая приближает к пониманию истинной природы вещей.

Мое первое возражение онтологическое. Все эти идеологии объясняют гармоничность нашего мира исходя из предположения, что априорно наш мир может быть любым мыслимым миром. Однако, это предположение неверно, ибо априорно наш мир единственный, такой, какой он есть и первичен он, а не наше мышление. Поэтому на заявления о том, что мир должен соответствовать нашим представлениям о разумности, правильности или справедливости, я отвечаю, что мир ничего нам не должен.

Я это не понимаю, и соответственно подозреваю, что сей аргумент есть не более чем паралогизм. Мы ведь не рассуждаем “наша планета априорно такая, какая она есть, она не могла быть ни меньше размером, ни больше”.

Мое второе возражение гносеологическое. Для объяснения невероятности гармоничности нашего мира, мы можем просто предположить, что существуют мириады невзаимодействующих с ним миров, а затем отметить, что только в достаточно гармоничных мирах могут существовать разумные существа, строящие теории мироздания. Размышлять о таких вещах, конечно, можно, но зачем? Ведь роль наших теорий не в экзерсисах «сколько ангелов уместятся на кончике иглы?», поскольку они ценны для нас тем, что они нам дают, а не тем, чего они нам не дают. За это я уважаю позитивистские или фальсификационистские критерии научной демаркации, отсекающие разные домыслы.

Я слышал, что эти критерии тормозят развитие науки. Я мало знаю о теме, но вот вопрос – является ли фальсифицируемой, например, теория эволюции? А математические теории?

[Н. Светлов]

Я об этом писал уже давно, попробую сформулировать лишний раз. Эти гуголы миров гибнут из-за парадоксов нарушения причинно-следственной связи - по той причине, что в них зарождаются цивилизации, достаточно развитые, чтобы построить машину времени, но недостаточно ответственные, чтобы установить жёсткие ограничения на использование этой машины.

Э, нет.

В эвереттовой или другой подобной вселенной (в которую я не верю, но которой наплевать, верю я в неё или нет) такое может иметь место - почему бы и нет? Но применительно к выживанию особенно гармоничных миров этот аргумент со всей очевидностью не проходит - требуется другой. Просто потому, что в мире с дефицитом гармонии в самой его физике никакая цивилизация не заведётся и никакую машину времени не изобретёт. А уж если цивилизация завелась, то в таком мире тамошние изобретатели тамошних машин времени тоже сначала обнаруживают непостижимую эффективность своих математик для познания своих миров, и лишь потом им настаёт кирдык.

Кстати, гибель "негармоничных" миров вовсе не обязательна. Необходимость в гибели проистекает из неявного предположения о недостатке "места" для существования всех миров сразу (по аналоги с эволюцией). Если такого недостатка нет, то нет целенаправленного возрастания гармонии, но оно и не требуется: достаточно, чтобы миров было бесконечно много, чтобы они различались по уровню гармонии и чтобы верхний предел этого уровня, если существует, был не ниже уровня, наблюдаемого в нашем мире.

[Bitman]

Но применительно к выживанию особенно гармоничных миров этот аргумент со всей очевидностью не проходит - требуется другой. Просто потому, что в мире с дефицитом гармонии в самой его физике никакая цивилизация не заведётся и никакую машину времени не изобретёт.

Вы здесь пишете по сути примерно то же что и я, вывод-то один - мы живём в гармоничном мире (и это хорошо).

А уж если цивилизация завелась, то в таком мире тамошние изобретатели тамошних машин времени тоже сначала обнаруживают непостижимую эффективность своих математик для познания своих миров, и лишь потом им настаёт кирдык.

Здесь закралось некое фундаментальное противоречие. По сути, абсурдно говорить, что во вселенной сначала развивается цивилизация, потом кто-то изобретает машину времени и потом кто-то вызывает парадокс, уничтожая весь пространственно-временной континуум этой вселенной. Ведь если континум "был" уничтожен, значит и цивилизации не зарождалось. Правильнее, видимо, говорить так: пространственно-временные континуумы, в которых встречаются машины времени и парадоксы, не могут существовать. Это подобно тому, как мы можем доказать неправоту собеседника, найдя логические противоречия в его рассуждениях. Я пытаюсь привести пример из математики, слабость познаний очень мешает, но может так: иррациональные числа нельзя выразить дробью, поскольку, если бы какие-то из них можно было выразить дробью, мы нашли бы логическое противоречие в рассуждениях - следовательно, иррациональных чисел в виде дроби не бывает.

[Юра]

Это, видимо, уже классическое выступление Вигнера в мае 1959 года.

Математические понятия придумывают люди.
Каждый великий математик когда-то лепил куличи в песочнице, развивая свое мышление через познание физических объектов.
Набор базовых аксиом во многих разделах математики является результатом логического обобщения наблюдений за физическими объектами. Вот, к примеру, аксиомы Пеано - это по сути развитие и углубление задачи Мальвины, "у вас в кармане два яблока, некто взял у вас яблоко..."
Поэтому не столь уж удивительно, что математические построения обладают предсказательной силой в отношении поведения физических объектов.

[Весельчак Ы]

Юра

Дьердь Пойа рассказывает следующую «маленькую историю о великом Эйнштейне»: «Однажды я присутствовал при беседе Эйнштейна с группой физиков. "Почему все электроны имеют одинаковый заряд? " перепросил Эйнштейн. " Ну, хорошо, а почему все козьи орешки имеют одинаковый размер?"»

Одинаковость козьих орешков неудивительна. Удивительна одинаковость электронов.


Bitman

Мы ведь не рассуждаем “наша планета априорно такая, какая она есть, она не могла быть ни меньше размером, ни больше”.

Так ведь действительно не могла! (Тем не менее правило Тициуса-Боде и зона Златовласки остаются применимы к ней. ) Как можно считать возможным явление которое не случилось? А если кто его и считает таковым, то он ошибается. Рассуждения о возможности – это рассуждения от незнания. Если человек не знает, то он мудрит «может быть оно так, а может быть оно эдак». А когда он знает, то он знает, что может быть только так. Пока люди не измерили размеры нашей планеты, они могли иметь различные предположения о них, и даже о ее форме. Но Земля априорно имела (и имеет) единственную форму, и не могла быть плоской, даже когда люди думали, что она такова.

[Н. Светлов]

Рассуждения о возможности – это рассуждения от незнания.

Квантовая механика категорически не согласуется с этим утверждением. Электрон - только возможность, покуда его не пришпилили измерением к таким-то пространственно-временным координатам.

Но Земля априорно имела (и имеет) единственную форму

С точностью до выбранной метрики
Во всяком случае, она не тор, да

Поэтому не столь уж удивительно, что математические построения обладают предсказательной силой в отношении поведения физических объектов.

Интерес вызывает тот факт, что они обладают предсказательной силой относительно физических объектов, качественно отличающихся от всего того, что прежде было дано человеку в опыте. Это настораживает чрезмерно бдительных субъектов познания, из простой предосторожности неотрывно взирающих на форточку - лезет в неё уже спрут или ещё нет

Здесь закралось некое фундаментальное противоречие.

В частном случае - да, в общем - нет. В частности, противоречия нет, если, например, предположить, что время - это сущность, относящаяся к метамиру или (это, по сути, то же самое) что существует метавремя, общее для всех миров.

[Юра]

Интерес вызывает тот факт, что они обладают предсказательной силой относительно физических объектов, качественно отличающихся от всего того, что прежде было дано человеку в опыте.

С такими объектами человечество и раньше сталкивалось. Только не знало, с чем оно сталкивается.
Как господин Журден полвека проговорил прозой, ни бельмеса не смысля в филологической терминологии.
Что есть яблоко, как не куча протонов? Свойства яблока есть статистическое обобщение свойств протонов.

Я не пытаюсь опровергнуть или принизить изумительную и восхитительную описательную и предсказательную силу математики.
Я просто пытаюсь рационально объяснить ее причины.
Пифагор говорил, что мир есть число. Я бы дополнил: потому, что число придумано в результате наблюдений за миром.

[Весельчак Ы]

Галилею приписывается фраза «книга природы написана на языке математики».* Никто здесь не спорит с тем, что математические идеи в наши головах навеяны природой. Но как, где и почему сам мир "математически упорядочен"?
---

* А точнее «Философия написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами (я разумею Вселенную), но её нельзя понять, не научившись сначала понимать её язык, и не изучив буквы, которыми она написана. А написана она на математическом языке, и её буквы — это треугольники, дуги и другие геометрические фигуры, без каковых невозможно понять по-человечески её слова, без них — тщетное кружение в тёмном лабиринте».
https://ru.wikiquote.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%B5%D0%B9

[Юра]

Но как, где и почему сам мир "математически упорядочен"?

На этот вопрос я скоро отвечу.
Как только построю строгую теорию Мультивселенной.
Тогда сразу станет понятно, почему наша местная Метагалактика сформировалась именно с такими свойствами.

Кроме шуток, с развитием гравитационной астрономии можно надеяться иccледовать реликтовые гравитационные волны Большого взрыва. Они старше реликтового электромагнитного излучения, и могут дать новую информацию о возникновении Вселенной.
Ответы на последние вопросы - в изучении той субстанции, из которой возник наш мир.

[visor]

Сегодня я с 96%-ной внимательностью прочитал доклад по ссылке и последующую дискуссию.
И вот что скажу.
Или я катастрофически что-то недопонимаю в математике и физике, или ... поправьте меня, если я не прав!

Причина "чуда" - в квантуемости природы!
Не существовало бы квантов, не было бы соотношений.
Один_квант плюс Один_квант = Две_вспышки (явления, энергии и т.п.)
Именно благодаря этому сохраняются соотношения и эти соотношения неизменны в разных частях мира.
Фундаментальный микромир - та область, где математика есть физика.
Опускаясь ещё ниже в иерархии мироустройства, можно сказать, что в основе всего лежит дуализм (биполярность, двоичность).
Это точка Большого Взрыва математики и физики, где математика и физика есть единая система.
Всё, что мы наблюдаем и описываем, это бесконечные фракталы, которые сходятся в одной общей точке "+\-".
(или инь-янь, или ... "Поистине, это было вначале одним Атманом. Не было ничего другого, что бы мигало", и т.д.)
В том числе чисто математические теории, созданные для красоты и тонких логических построений; в том числе наблюдаемые физические закономерности; всё это, нашедшее впоследствии себя в зеркале науки-сестры.
Не знаю, удалось ли мне донести свою мысль, но для меня нет ничего удивительного, что законы физики описываются математикой, а новые математические "высказывания" рано или поздно находят отражение в физической реальности.

Более удивительным для меня выглядит сама двоичность, лежащая в основе мироздания. Почему именно 2?!
Наверное, потому, что "да" и "нет"; "существую" и "не-существую" - и всё остальное - градации узора, составленного двумя состояниями.
=================

Насчёт гармоничности.
imho, как и вышенаписанное:

Человеческое чувство гармоничности - это интегральное интуитивное чувство, связанное с истинностью чего-либо (или связью этого нечта с законами природы).
Возникло оно в процессе эволюции или было создано Создателем - не важно.

Это примерно как чувство сладкости. Мы не можем быстро произвести термохимический анализ пищи, однако рецепторы языка нам подсказывают с некоторой точностью, что данное питание является калорийным и у нас будет от него новая сила.

Есть ли негармоничные миры?
Наверное, если и есть, то живущие там существа развили своё ощущение "Х-гармонии", которое наиболее сильно по отношению к ангармонии.
==================

Можно ли рассчитать оптимальную траекторию движения шахмат?
Да два раза плюнуть!
Переведите вначале в математическую форму правила шахматной игры и 9/10 дела сделано!

[Н. Светлов]

Переведите вначале в математическую форму правила шахматной игры и 9/10 дела сделано!

Не уловил юмора. Перевести правила шахматной игры в математическую форму - пара пустяков, и всякие там Deep Thought'ы давным-давно успешно играют с гроссмейстерами, пользуясь этими правилами.

Но оптимальной стратегии не найдено.

Почему именно 2?!

На самом деле 1.570796327, но мы округляем

[visor]

Но оптимальной стратегии не найдено.

А Вы думаете, почему?
Дело ведь не в потусторонней природе шахматных правил.
Причина в элементарной недоразвитости вычислительных мощностей и математического описания данной игры.
Существующие алгоритмы, наверное, основаны на переборе вариантов.
А в красивом случае надо описать стратегию, как взаимодействие со сложной системой, подчиняющейся правилам игры.
Противник + правила игры - это некая система, обладающая предсказуемым или непредсказуемым (как сами желаете) поведением.
Что-то вроде движения между частицами в броуновском движении, только в гораздо более усложнённом варианте.

Стратегию "оптимального" человеческого творчества нельзя описать, согласен. А тут чёткие взаимосвязи по чётким правилам между отдельными событиями в конце конце концов.

[Н. Светлов]

Причина в элементарной недоразвитости вычислительных мощностей и математического описания данной игры.

Ясно. Мы по-разному понимаем слово "правила".

Правила игры (в моём понимании) просты и укладываются в пару десятков формул (довольно длинных), аргументами и значениями которых являются матрицы 8x8. А вот дальнейшая дедукция к оптимальной стратегии действительно натыкается на ограниченность вычислительных мощностей. При этом существует умозрительная возможность построения некой теории, теоремы которой окажутся эффективными леммами для отыскания оптимальной стратегии и радикально снизят глубину перебора; но пока такой теории нет и неизвестно, возможна ли она.