Аналогии и научное познание

[Bitman]

Я уже писал про геометрию Лобачевского: похоже, что она является объективной реальностью, но человеческий разум её не способен вообразить.
Есть и гораздо более тяжёлые случаи. Вот меня на некоторых форумах считают фриком; я верю в реальность паранормальных и сверхъествественных явлений, православных и буддийских чудес и т.д. Мне кажется, всё это в принципе объяснимо. Но вот недавно я увидел в интернете такую хрень, что сутки плохо себя чувствовал. К счастью, такие страдания (от когнитивного диссонанса) довольно быстро заканчиваются.
Несмотря на то, что мы не можем вообразить ту же геометрию Лобачевского, мы можем успешно изучать её свойства с помощью метода аналогий.
Здесь возникает вопрос – что такое вообще аналогии? Я хорошего ответа дать не могу, предлагаю два варианта:
1) Если мы интуитивно чувствуем, что что-то можно назвать словом “аналогия”,”метафора” – это и есть аналогия.
2) Поскольку аналогии позволяют делать предсказания, это может служить и критерием – если какая-то аналогия дала верные предсказания, значит она имеет право называться аналогией.
Далее я озвучу важную идею: количество аналогий может компенсировать качество.
Я уже писал, что много слабых аргументов могут в сумме превратиться в сильный, подобно тому как показания многих людей на суде превращаются в доказательство (если исключить возможность сговора). Здесь работает теорема сложения непроизвольных событий.
Приведу пример. Те, кто играют в компьютерные игры (стратегии), начинают немного понимать некоторые законы реальных войн. Скажем, в современных стратегиях часто работает правило “камень, ножницы и бумага”, которое можно перенести и на реальные ситуации. Классический пример: лучники эффективны против копейщиков, поскольку, пока те подойдут, лучники будут долго забрасывать их стрелами; кавалерия эффективна против лучников, поскольку быстро до них доберётся; а копейщики эффективны против кавалерии. Всё это тоже можно называть аналогиями (в широком смысле).
Приведу пример, как множество аналогий позволяют делать более достоверное предсказание. В большинстве стратегий обороняться легче, чем атаковать; это же работает и в реальных войнах (возможны исключения – например, в ядерной войне первым нападать может быть легче). Так вот, в разных стратегиях это правило реализуется по-разному: в одной обороняться легче за счёт эффекта “стены огня”; в других – обороняющаяся сторона имеет тактическую инициативу и может контратаковать там, где это наиболее выгодно; в третьих – атакующая сторона более уязвима для разных бомбардировок, т.к. она перемещается; в четвёртых – на своей территории снабжать войска легче. И т.д.
Теперь про геометрию Лобачевского. Я могу назвать четыре аналогии, позволяющие предсказывать её свойства. Первая кажется называется сферической геометрией. Возьмём внутреннюю поверхность сферы. Назовём “прямыми” (именно в кавычках) прямые от одной точки на поверхности к другой (прямые в трехмерном пространстве), либо кратчайшие линии по поверхности сферы. Тогда получаем “теорему”:
Через две точки можно провести любое количество “прямых”, параллельных заданной “прямой”.
Три другие аналогии приведены здесь:

https://pikabu.ru/story/vsyo_chto_vyi_k ... it_2767863

Так вот, если две-три из этих аналогиий дают одинаковую теорему, то она наверняка верная.

[Nik]

В части относящейся к играм:
Игра не есть самостоятельно и естественно возникшее явление, поэтому когда вы ищете в ней аналогии, то аналогия получается не между игрой и реальностью, а между реальностью и представлением о реальности программист а создавшего игру.

Отправлено спустя 3 минуты 37 секунд:
"Аналогия" есть подобие. Предикция на основе аналогии будет работать в сильно ограниченной системе, почти замкнутой.

[Н. Светлов]

Здесь возникает вопрос – что такое вообще аналогии?

Ответ очень простой. Даны три текстовых файла: A, B и C. Каждый по 1 Мбайт. Сжимаем каждый из них rar'ом. Получаем по 0,5 М. Теперь объединяем файлы попарно: A+B и A+C (дописываем в конец файла A в первом случае файл B, во втором - C). Снова сжимаем. Получаем в первом случае 0,9 Мбайт, во втором - 0,6 Мбайт. Значит, в файле C много аналогий с файлом A, а в файле B их мало.

Подробности можно разыскать в литературе про цепи Маркова и про их обобщения.

Итак, аналогия между файлами A и B - это общность (дублирование) содержащейся в них информации. Если A и B - не файлы, а что-то ещё, суть от этого не меняется.

[Кот Матроскин]

Классический пример: лучники эффективны против копейщиков

Вот только создатель Цивы об этом не знал и древняя фаланга способна победить танк, видимо украв зелья Панорамикса

В большинстве стратегий обороняться легче, чем атаковать

Лучшая защита-это нападение!(С)

[Весельчак Ы]

Bitman

О геометрии Лобачевского я думаю ответить потом, а пока отвечу об аналогиях.

Одним из основных вопросов на вашем гносеологическом пути лентяя является «Как думать о чём-то, не понимая его?», на который вы отвечаете «А мы будем думать о том, что понимаем!». И здесь любителю аналогий я могу напомнить старый анекдот о человеке, ищущем ключи по фонарем: не там, где он их потерял, а там, где светло.

что такое вообще аналогии?

Я бы сказал, что аналогия это идея, обладающая некотрыми сходными свойствами. Но её другие существенные свойства могут быть сходны, а могут и не быть. Поэтому аналогии иногда работают, а иногда – нет. А чтобы знать, когда они работают, нужно знать предмет.

Я уже писал, что много слабых аргументов могут в сумме превратиться в сильный, подобно тому как показания многих людей на суде превращаются в доказательство (если исключить возможность сговора). Здесь работает теорема сложения непроизвольных событий.

«Теоремы сложения» здесь такие:

«К законам общности от сути частности
приходишь без долгих раздумий:
сумма талантов равна их разности,
а сумма бездарностей – сумме».
Пит Хейн

А Клизовского я вам уже цитировал.

Так вот, если две-три из ... аналогиий дают одинаковую теорему, то она наверняка верная.

Например, все нечетные числа простые.

Munin, мне кажется, вы в будущем будете мне благодарны за этот самый диссонанс. Потому что в будущем вам предстоит пережить диссонанс гораздо больший, а это как бы была тренировка.
Вы закуклились на этом форуме, читаете только то, что вписывается в ваше мировоззрение, а я общаюсь на многих форумах и знаю, что там с явлением диссонанса весьма знакомы. Это происходит на форумах со свободной модерацией, где не очень много фриков. Особенно сильный диссонанс вызывает политика.
Я могу пока попробовать пробивать своё открытие на других форумах, а когда получу признание, вернусь сюда.

А я вам скажу «Слушайте Munina!». Это человек редкой толковости и ясности ума. Читаю его с удовольствием. С его ответом вам я по сути согласен. По идее, чем профессиональнее человек, тем больше его раздражают дилетантские суждения в его области. В политике и религии, как мне кажется, демагогия (я решил использовать это слово как собирательное для явлений, подобных перечисленным в моей характеристике лжеученых) особенно сильна и распространена. Вы человек думающий и культурный, а часто ситуация недалеко уходит от классического случая.

«- Вы стоите на самой низшей ступени развития! - перекричал Филипп Филиппович, - вы еще только формирующееся, слабое в умственном отношении существо, ... и вы, в присутствии двух людей с университетским образованием, позволяете себе с развязностью совершенно невыносимой, подавать какие-то советы космического масштаба и космической же глупости...
- Ну вот-с, - гремел Филипп Филиппович, - зарубите себе на носу... что вам надо молчать и слушать, что вам говорят! Учиться и стараться стать хоть сколько-нибудь приемлемым...».
М.А. Булгаков «Собачье сердце»

И демагогия, это, видимо, главная причина, из-за которой я и ушел со всех форумов, в том числе с dxdy.

[Н. Светлов]

Например, все нечетные числа простые.

Там ещё какой-то экономист отличился… А я думал, я один такой

О геометрии Лобачевского я думаю ответить потом

А я даже не знаю, сто́ит ли. Imho, cначала Bitman'у неплохо было бы почитать какое-то количество ранее уже кем-нибудь написанных буковок, чтоб хотя бы не путать геометрию Лобачевского и Римана.

но человеческий разум её не способен вообразить

Разум Лобачевского вполне был на это способен. Между тем на основании ряда аналогий, подобранных подходящим образом, можно сделать вывод, что разум Лобачевского был человеческим.

Я думаю, что я тоже был бы способен вообразить геометрию Лобачевского, если б у меня вообще было воображение. Всего-то нужно допустить, что сумма углов треугольника не 180°, а чуть меньше! И всё!

[Bitman]

Весельчак Ы,

Я предлагаю вам почитать, что пишут знатоки ТРИЗ про историю творчества:

http://www.trizminsk.org/e/2500601.htm

Здесь пишут о том, что чуть ли не все выдающиеся изобретения и открытия вначале встречали отторжение общество. Самый яркий пример – Игнац Фюлеп Земмельвейс.

Цитата из книги:

Трудно поверить, что прогресс человечества, его извечные надежды на всеобщее поумнение, наконец, просто на счастье непосредственно и лично связаны с сонмом одиноких, им же затравленных людей, в далекой юности поставивших перед собой Великую Достойную Цель, направленную на благо всего человечества, и сквозь все преграды идущих к ней.

Одна известная журналистка пишет, что когда в Англии был изобретен пулемёт Максим, вначале британская армия отказалась его принимать на вооружение, сославшись что это “слишком смелая концепция”. Пулемётом вооружилась только частная компания “Сесил Родс”, и лишь после того как они применили Максим в Африке, это оружие все признали официально.
Другой пример, про который я слышал в одной программе – изобретения антирадара во время корейской войны (долгое время наши военные отвергали это изобретение).

Вот ещё сочинение от тризовцев:

https://veselej.livejournal.com/33939.html

Кратко, суть рассказа такая. Ньютон не родился, и закон всемирного тяготения не был открыт. В дальнейшем развились две теории – падология и падологическая теория расстояний. Один студент нашёл формулу, которая объединяет обе теории:

F=k*m1*m2/(r*r)

С изумлением он обнаружил, что данное выражение с большой точностью описывает процесс падения любых тел, что оно заменяет сложнейшие формулы обеих ведущих теорий и решает многие вопро¬сы, перед которыми они были бессильны...
Один из столпов массопадологии опубликовал первую (оказавшу¬юся и последней!) статью Н. в сборнике студенческих работ, сочтя, что она косвенно подтверждает его изыскания. Юный Н. мечтал о мировой славе... Тем тяжелее было разочарование, когда на его детище обру¬шился шквал несправедливых нападок. Его не оставили в аспирантуре, ни один падологическии институт не согласился взять к себе печально прославившегося молодого специалиста. Разочаровавшись в науке, Н. перешел в корпус Разведчиков Космоса и через несколько лет погиб во время экспедиции в район вспышки Сверхновой.
Сейчас каждый может увидеть гигантский памятник из бирюзового сатурнианского граната у въезда в Международный Сахарский космопорт. Н. стоит в академической мантии и шапочке (которые не надел ни разу в жизни), опираясь на кафедру, в опущенной руке держит свиток с начертанной на нем великой формулой.
А падология умирала. Прикладники, а за ними и теоретики все охотнее пользовались простым законом Н. На его основе быстро создавалась принципиально новая, логичная и доступная даже школь¬никам механика. Постепенно закрывались кафедры, пустели аудито¬рии падологических институтов, переплавлялось оборудование синхропадотронов, а опустевшие корпуса приспосабливались под склады...

Я, конечно, могу ошибаться, но мне показалось, я сделал некоторое открытие: формализация метода аналогий в математике с помощью спользования омонимов. Мне кажется, вы это отвергаете подобно “специалистам по падологии” из второго рассказа.

А мне хочется добиться признания этой идеи скорее не потому, что сама по себе она такая уж важная (не думаю, что вся эта наука может сделать мир лучше), а потому что это могло бы стать трамплином для признания других моих идей.

[Н. Светлов]

Я, конечно, могу ошибаться, но мне показалось, я сделал некоторое открытие: формализация метода аналогий в математике с помощью спользования омонимов.

Может быть. Почему бы тогда некоторое время не попользоваться своим открытием самому? Если предъявить народу не само открытие, а результаты его применения - больше будет шансов, что интерес народа окажется прикован к этим результатам, а не к разным мелким ляпам, которые у каждого бывают.

[Bitman]

Н. Светлов,

Хорошо, попробую.

Берём 4 аналогии:
1) Внутренняя поверхность сферы

Между двумя точками этой поверхности можно провести прямую (в трехмерном пространстве). Также между двумя точками можно провести линию по поверхности, как бы тень от первой прямой, если бы в центре сферы был источник света (и далее продолжить эту линию в обе стороны, чтобы получилась окружность на поверхности сферы).
Назовём эти абстракции соответственно “линия в первом смысле” и “линия во втором смысле”.
Теперь придумаем омоним – “прямая ” в кавычках, которая означает и то и то.

Теперь получаем “теорему”, соответствующую геометрии Лобачевского:

Через заданную точку можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.

В то же время, получается и неправильная “теорема”:

Между двумя точками можно провести две “прямые ”.

Также получаются две противоречивые “теоремы”:

Две “прямые” либо имеют две точки пересечения, либо совпадают, либо параллельны.
Две “прямые” могут иметь только одну точку пересечения.

2) Модель Пункаре


Назовём “прямой” в кавычках дугу окружности, перпендикулярную внешней поверхности круга (т.е. под каким углом эта дуга выходит из стенки круга, по таким же углом и входит в эту стенку; линия от центра круга до стенки делит эту дугу на две симметричные половины).

Назовём эти “прямые” “параллельными” в кавычках, если они не имеют общих точек.

Получаем “теорему”:
Через одну точку можно провести любое число “прямых”, “параллельных” данной “прямой”

Также получаем явно неправильную “теорему”:
Через две точки можно провести любое число “прямых”.


Ещё получаем такую “теорему”:
Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.

3) Модель верхней полуплоскости


Назовём “прямыми” окружности, которые делятся пополам осью X.
Вроде через две точки можно провести только одну такую “прямую”.
Если называть “параллельными” прямыми любые “прямые”, которые не имеют точек пересечения, то снова получается геометрия Лобачевского – через точку (правда не любую) можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой”. Друг с другом эти прямые не будут “параллельны” (т.к. они будут пересекаться в общих точках).

В этой модели две "прямые" уже не могут иметь две точки пересечения.

4) Модель на гиперболоиде


В этой модели “линиями” называем области пересечения между гиперболоидом (поверхностью, образованной вращением гиперболы вокруг оси Z на рисунке) и плоскостями, проходящими через центр координат.
Вроде такие “плоскости” не могут иметь две общие точки пересечения.

Значит, из четырёх рассмотренных аналогий только две “предсказывают” теорему, что две прямые могут пересекаться в двух точках. Две другие аналогии это отрицают. В данном случае мне трудно судить, где здесь истина. Хотелось бы, чтобы знатоки геометрии Лобачевского подсказали, есть ли в ней такая теорема.

[Весельчак Ы]

Bitman

Я пока только бегло глянул на то, что вы пишите по геометрии Лобачевского, но на конкретный вопрос могу ответить сразу.

Значит, из четырёх рассмотренных аналогий только две “предсказывают” теорему, что две прямые могут пересекаться в двух точках. Две другие аналогии это отрицают. В данном случае мне трудно судить, где здесь истина. Хотелось бы, чтобы знатоки геометрии Лобачевского подсказали, есть ли в ней такая теорема.

То, что через две различные точки можно провести ровно одну прямую, это теорема так называемой абсолютной геометрии, общей как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского. Теорема непосредственно следует из первых же двух аксиом абсолютной геометрии (а именно, так называемых аксиом связи I.1 и I.2, см. напр. с. 40 старой доброй «Высшей геометрии» Ефимова, по которой я, в своё время, и учил геометрию Лобачевского).

О геометрии Лобачевского я думаю ответить потом

Начал читать.

Пикабушное изложение геометрии Лобачевского для пацанов я решил не читать (и вам не рекомендую).

Две “прямые” могут иметь только одну точку пересечения.

Согласно Теореме 1 на с. 41, в абсолютной геометрии две (различных) прямых могут иметь не более одной общей точки, что непосредственно следует из аксиомы I.2

Через заданную точку можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.

Определите сначала пересечение и параллельность. Без этого разговаривать вообще бессмысленно.

Тут такое дело. На с. 87 книги Ефимова действительно сформулирована Теорема I, утверждающая, что «какие бы прямая и точка вне её ни были заданы, через эту точку проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную. Здесь имеется в виду, конечно, прямые, лежащие в одной плоскости с данной прямой. Мы не будем больше делать подобной оговорки, полагая, что наше рассмотрение (до n^o 33) имеет планиметрический характер, т.е. что рассматриваются точки и прямые одной определенной плоскости». Однако, определение прямой, параллельной данной в геометрии Лобачевского уже определения прямой, не пересекающей данную. На с. 89 говорится, что по Лобачевскому, прямая a’ называется параллельной к прямой a, если в совокупности прямых, проходящих через некоторую точку прямой a’ и не встречающих прямой a, прямая a’ является граничной. На с. 90 делается заключение, что через каждую точку плоскости (не лежащую на данной прямой) проходят две прямые, параллельные данной прямой в двух различных направлениях, по одной для каждого направления.

Модель верхней полуплоскости.

Видимо здесь речь идет о модели Пуанкаре (см. с. 152). Однако “прямыми”, т.е. прямыми в модели в ней также считаются евклидовы полупрямые верхней полуплоскости, опирающиеся на выделенную горизонтальную прямую и образующие с ней прямой угол.

через две точки можно провести только одну такую “прямую”.

Да, см. последнее предложение на с. 152.

Если называть “параллельными” прямыми любые “прямые”, которые не имеют точек пересечения, то снова получается геометрия Лобачевского – через точку (правда не любую) можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой”.

Об этом я уже писал чуть выше.

Друг с другом эти прямые не будут “параллельны” (т.к. они будут пересекаться в общих точках).

А именно, в той точке, через которую их провели.

В этой модели две "прямые" уже не могут иметь две точки пересечения.

Поскольку для этой модели Пуанкаре выполняется геометрия Лобачевского, а, значит, и абсолютная геометрия.

2) Модель Пуанкаре

Да, это еще одна модель плоскости Лобачевского, cм. с. 168.

Через одну точку можно провести любое число “прямых”, “параллельных” данной “прямой”

Разбирал выше.

Также получаем явно неправильную “теорему”: Через две точки можно провести любое число “прямых”.

Нет, не получаем (если эти две точки различны), ибо «проводя рассуждения, аналогичные тем, какие мы провели в nn^o 50–52, можно показать, что при таком определении геометрических элементов и отношений между ними удовлетворены все требования аксиом абсолютной геометрии»

Ещё получаем такую “теорему”: Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.

Аналогично предыдущему, этого не может быть, если и эти прямые, и эти точки различны.

4) Модель на гиперболоиде...
Вроде такие “плоскости” не могут иметь две общие точки пересечения.

Пусть O – начало координат. Предположим, что гипербола, вращением которой оси Oz получен гиперболоид, расположена в плоскости yOz и имеет фокусы в точках (0,0,c) и (0,0,-c), с>0. Насколько я понимаю, можно показать, (см., напр. Ефимов Н. «Краткий курс аналитической геометрии», 10-е издание, §30), что в этом случае уравнение гиперболы имеет вид z²/a²-y²/(c²-a²)=1, для некоторого числа 0<a<c. Дальше я приму это допущение. Тогда плоскости xOz и yOz проходят через начало координат и их пересечение это ось Oz, которая пересекается с гиперболоидом по двум точкам (0,0,a) и (0,0,–a).

Но если мы возьмем лишь одну, для определенности, верхнюю, половину гиперболоида, то ответ для различных плоскостей будет «не могут». Действительно, две различные плоскости, проходящие через начало координат, пересекаются по прямой, проходящей через него же. Повернем её относительно оси z, так, чтобы прямая оказалась в плоскости yOz. Поскольку эта прямая пересекается с верхней полостью гиперболоида, она описывается уравнениями х=0 и z=ky, для некоторого числа k≠0. Пусть (0,y,z) координаты точки пересечения этой прямой с верхней полостью гиперболоида. Тогда k²y²/a²-y^2/(c²-a²)=1. Это уравнение линейно относительно y^2, поэтому его корни отличаются лишь знаком. Знак же y определен условиями z>0 и z=ky.

1) Внутренняя поверхность сферы

Между двумя точками этой поверхности можно провести прямую (в трехмерном пространстве).

Конструкция имеет прокол уже здесь, так как эта прямая содержит точки, не принадлежащие сфере. А как проводить «прямые» через эти точки, не говорится.

В то же время, получается и неправильная “теорема”: Между двумя точками можно провести две “прямые ”.

Да, эта теорема неверна для (двух различных точек) даже в абсолютной геометрии. Поэтому эта конструкция на внутренней поверхности сферы не является моделью геометрии Лобачевского.

Теперь получаем “теорему”, соответствующую геометрии Лобачевского:
Через заданную точку можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.

Заданная точка не должна принадлежать заданной прямой, а о соответствии такой теоремы геометрии Лобачевского я уже писал выше.

Также получаются две противоречивые “теоремы”:
Две “прямые” либо имеют две точки пересечения, либо совпадают, либо параллельны.
Две “прямые” могут иметь только одну точку пересечения.

Насколько я понимаю, первая из этих теорем должна выполнятся в конструкции, а вторая – в абсолютной геометрии (для различных прямых), и здесь вы и усматриваете противоречие. Что и неудивительно, поскольку конструкция не является моделью геометрии Лобачевского.

[Н. Светлов]

Хорошо, попробую.

Насколько я понял, слабое место приёма, который Вы используете, заключается в том, что он не даёт общего рецепта к тому, чтобы различить "верные" аналогии и "неверные". Высказывания по аналогии могут быть истинными или ложными; Вы приводите и те, и другие примеры. Видимо, Вы исходите из того, что аналогия позволяет нам заподозрить в некоторых нетривиальных высказываниях теоремы; и в поиске теорем не пытаться доказать или опровергнуть все утверждения подряд, но только те, для которых есть "соблазнительные" аналогии. Если так, то в этом, безусловно, есть смысл.

А вот чего нет - так это, пожалуй, новизны. Аналогии, о которых говорите Вы, - это не совсем те аналогии, о которых выше писал я (аналогии по общности информации), а их важный и очень специфический частный случай. В теории знаковых систем этот вид аналогий называют интерпретацией. От знаковых систем обычно требуется, чтобы они имели интерпретацию, в которой все её теоремы истинны (то есть истинность теорем - не свойство теорем, а требование к интерпретации формальной системы). В таком случае Ваши примеры, в которых все аналогии верны, соответствуют случаю, когда указанное требование к интерпретации выполнено, а примеры, в которых некоторые аналогии не верны, - противоположному случаю. Вопрос об интерпретациях и об их корректности изучен настолько хорошо, что уже лет эдак 70 вовсю используется при разработке систем искусственного интеллекта (Ж.-Л. Лорьер, «Системы искусственного интеллекта»).

Получается, что Вы ломитесь в открытую дверь - разумеется, в предположении, что я верно уловил ход Вашей мысли. Если это действительно так, то, чтобы доказать миру свои права на идеи более высокого качества, чем в среднем по клинике, имеет смысл сначала найти такую дверь, которая и в самом деле ещё не открыта - и вот её открыть.

Весельчак Ы, книжку скачал. Расстался с ошибочным своим убеждением, что геометрия Римана, как и геометрия Лобачевского, отличается от геометрии Евклида единственной аксиомой. Весьма благодарен Вам за эту разлуку

[Весельчак Ы]

Bitman

Резюме.

Итак, насколько я вас понял, после отсеивания дефектов конструкций мы имеем следующие идеи.

Может, мы напишем статью в какой-нибудь математический журнал? Тут речь о том, что я предлагаю некий подход для формализации использования изоморфизма в математике.

Идея моего подхода заключается в том, чтобы формализовать использование метода аналогий – за счёт этого самого “назовём”.

Я, конечно, могу ошибаться, но мне показалось, я сделал некоторое открытие: формализация метода аналогий в математике с помощью спользования омонимов. Мне кажется, вы это отвергаете подобно “специалистам по падологии” из второго рассказа.

И рецензия будет следующая «Статья содержит новые и верные результаты. К сожалению, верные результаты не новы, а новые – не верны».

Я думаю, тут смешиваются разные вещи. Во-первых, врунгелевский принцип «Как вы яхту назовете – так она и поплывет». Математики иногда говорят, что все (математические) объекты с одинаковыми названиями взаимосвязаны, причем возможно, что эта взаимосвязь вначале скрыта. Лично я отношусь к этому, как к шутке, но, кажется, кое-кто из математиков усматривает в глубокий смысл. Но речь сейчас идет не об этом, поскольку еще Иоанн Креститель призывал «приготовьте путь Господу, прямыми сделайте стези Ему» [Мф. 3:3, Мк. 1:3, Лк. 3:4], а вы называете «прямыми» кривые, как в Стране лжецов Джанни Родари.

В ней глава пиратской банды Джакомоне, захватив власть в стране «тут же издал приказ, которым повелевал именовать себя "ваше величество", а каждому, кто ослушается, отрезать язык. И чтобы никому не приходило в голову говорить о нем правду, он приказал своим министрам составить новый словарь.
- Нужно поменять местами все слова! - пояснил он. - Например, слово "пират" будет означать "честный человек". Если кто-нибудь назовет меня пиратом, он попросту скажет на новом языке, что я честный малый!
- Клянемся всеми китами, на глазах у которых мы шли на абордаж, шикарная мысль! - с восхищением воскликнули пираты-министры. - Прямо хоть вставляй ее в рамку и вешай на стену!
- Значит, понятно? - продолжал Джакомоне. - Тогда пойдем дальше. Измените названия всех предметов, имена людей и животных. Для начала пусть люди вместо доброго утра желают друг другу спокойной ночи. Таким образом, мои верные подданные будут каждый свой день начинать со лжи. Ну и, само собой разумеется, ложась спать, надо будет пожелать друг другу приятного аппетита...
- Великолепно! - воскликнул один из министров. - Ведь для того, чтобы сказать кому-нибудь: "Как вы прекрасно выглядите!", нужно будет произнести: "До чего же у вас мерзкая рожа!"»
http://gatchina3000.ru/literatura/rodar ... ino_04.htm

Такой подход, наверное, приемлем для некоторых политиков,* но не для математиков.

* С этим, наверное, согласятся многие. Но относительно того, о каких именно политиках идет речь, могут возникнуть разногласия. Гугл при поиске цитаты выдал мне «Во многом Россия напоминает сегодня государство, описанное итальянским писателем Джанни Родари в сказке "Джельсомино в Стране лжецов"» Владимир Большаков «Путин навсегда. Кому это надо и к чему приведет?» (2017) и «именно на Украине знаменитая сказка Джанни Родари «Джельсомино в Стране Лгунов» превратилась в полную реальность. ...» wowavostok.livejournal.com (18 июл 2017).

Во-вторых, формализация изоморфизма в математике хорошо известна, а его использование состоит прежде всего, в том, что изоморфные объекты рассматриваются, как по сути одинаковые. Более интересны связи между объектами, более слабые, чем изоморфизм. Например, рассматривая проблему о том, как хорошо изобразить сферическую поверхность Земли посредством атласа плоских карт можно прийти к идее локального изоморфизма, на котором построена теория многообразий.

Идея моего подхода заключается в том, чтобы формализовать использование метода аналогий – за счёт этого самого “назовём”.

Значит, из четырёх рассмотренных аналогий только две “предсказывают” теорему, что две прямые могут пересекаться в двух точках. Две другие аналогии это отрицают. В данном случае мне трудно судить, где здесь истина. (и, по-видимому, эту теорему можно отбросить как недостоверную.)

И вот теперь мы, я думаю, подошли к сути. И, наверное, подобными проблемами занимаемся теория моделей, трудная и глубокая область современной формальной логики. Имея формальную аксиоматическую теорию (как, например, геометрию Лобачевского), можно построить интерпретацию её объектов объектами уже разработанной теории (например, геометрии Евклида), что, видимо, вы и пытаетесь сделать в ваших четырех аналогиях. Интерпретация теории называется моделью, если в ней выполняются все аксиомы теории. Тогда (возможно, при некоторых дополнительных допущениях) если утверждение теории неверно хотя бы в одной её модели, то оно не теорема и в самой теории. А при некоторых допущениях на теорию и модели, наверное, верно и обратное, т.е. если утверждение верно в каждой модели теории, то оно теорема, т.е. доказуемо в данной аксиоматической теории. Например, в главе о теориях первого порядка «Введения в математическую логику» Мендельсона доказывается следующее. Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая теорема является логически общезначимой (т.е. истинной в каждой интерпретации) (Предложение 2.7). И, наоборот, всякая логически общезначимая формула теории первого порядка является теоремой в ней (т.е. выводимой из аксиом теории посредством её правил вывода) (Следствие 2.13). Формула A истинна в каждой модели теории тогда и только тогда, когда А выводима в этой теории (Следствие 2.15.a).

Отправлено спустя 35 минут 26 секунд:
Идея модели в математике тоже не нова. Например, можно говорить о соответствии между действительными числами и точками прямой, комплексными числами и точками плоскости, и аналитической геометрии Декарта, приводящей к многомерным (и даже бесконечномерным) обобщениям.

Отправлено спустя 21 минуту 18 секунд:

Я уже писал про геометрию Лобачевского: похоже, что она является объективной реальностью,

Ы?

но человеческий разум её не способен вообразить.

Как вы сами написали, существуют очень простые наглядные (и, поэтому, вполне воображаемые) геометрические модели геометрии Лобачевского. Например, к дисковой модели плоскости Лобачевского, видимо, относятся красивые картинки Mauritsа Cornelisа Escherа Circle limit II и III:




Также я, кажется, где-то читал, что какие-то психологи-экспериментаторы (?) пришли к выводу, что субъективно представленное нами пространство как раз и обладает геометрией Лобачевского. Хотя лично я в это не верю.

По слухам, человеческий разум способен вообразить даже нетрехмерную геометрию.

[Bitman]

Разбирал выше.

Bitman писал(а): ↑
29.04.2018, 18:22
Также получаем явно неправильную “теорему”: Через две точки можно провести любое число “прямых”.

Нет, не получаем (если эти две точки различны), ибо «проводя рассуждения, аналогичные тем, какие мы провели в nno 50–52, можно показать, что при таком определении геометрических элементов и отношений между ними удовлетворены все требования аксиом абсолютной геометрии»

Bitman писал(а): ↑
29.04.2018, 18:22
Ещё получаем такую “теорему”: Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.

Аналогично предыдущему, этого не может быть, если и эти прямые, и эти точки различны.

Последнюю фразу я не понимаю. Взгляните на рисунок:



Здесь две "прямые" определённо имеют две точки пересечения.

[Н. Светлов]

Последнюю фразу я не понимаю.

В геометрии, отличающейся от геометрии Евклида единственной аксиомой (о параллельности) такое невозможно. Невозможно потому, что у Евклида (или, по крайней мере, в нынешнем изложении геометрии Евклида) есть, помимо аксиомы параллельности, ещё и аксиома о том, что две прямые могут иметь не более одной общей точки.

Ваш пример иллюстрирует геометрию Римана, в которой эта аксиома не действует. Подробности - в книжке, ссылку на которую дал Весельчак Ы. Собственно, из этой книжки я и узнал то, что пишу сейчас.

[Нгаан]

Последнюю фразу я не понимаю.

Двойная эллиптическая геометрия: две прямые на сфере всегда имеют две точки пересечения?

[Весельчак Ы]

Bitman

А я вам скажу «Слушайте Munina!». Это человек редкой толковости и ясности ума. Читаю его с удовольствием.

Читаю сейчас посты Munina на dxdy. Увы, вынужден забрать свои слова обратно, и заменяю их на «понимайте, думайте, учитесь, разбирайтесь, стремитесь к мудрости, как и подобает философу».

"Считается, что само слово «философия» первым придумал Пифагор. Как сообщает Диоген Лаэртский, философию философией [любомудрием], а себя философом [любомудром] впервые стал называть Пифагор, когда спорил в Сикионе с Леонтом, тираном Сикиона или Флиунта <…>; мудрецом же, по его словам, может быть только бог, а не человек. Ибо преждевременно было бы философию называть «мудростью», а упражняющегося в ней — «мудрецом», как если бы он изострил уже свой дух до предела; а философ [«любомудр»] — это просто тот, кто испытывает влечение к мудрости.
Пифагор не оставил после себя сочинений, так что первый автор, у которого встречается слово «философ», — это Гераклит:«Очень много должны знать мужи-философы»".

[Bitman]

Я попробовал определить, чему должна быть равна сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского. По второй и третьей модели (Пуанкаре и верхней полуплоскости) вроде получается, что эта сумма должна быть меньше 180 градусов. Всё правильно?

[Весельчак Ы]

Да, меньше, см. напр. раздел «Содержание геометрии Лобачевского» из статьи в Википедии. Более того, одним из эквивалентов V поcтулата является утверждение «сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым». См. также теоремы на с. 84 книги Ефимова, из которых, видимо, и следует эта эквивалентность.