Статья о природе логики

[Н. Светлов]

Bitman, последний постинг понятнее всей статьи.

Я всё-таки думаю, что это открытие скорее для себя, чем для других. Примеры: закон единства и борьбы противоположностей в диалектической логике Гегеля; удивление у Рассела; использование противоречий для решения изобретательской задачи в ТРИЗ. В контексте той цели, которую Вы ставите, последний пример наиболее подходящий.

Удивление указывает на то, что не подтвердилась правильность какой-то части представлений о мире. В ответ рефлекс включает программу сбора данных, требуемых для пересмотра этих представлений. Включает он её потому, что те, у кого он её не включал, вымирали быстрее, чем те, у кого включал. Как-то так.

[Bitman]

Я думаю, польза от моей статьи может быть в том, что она продолжает идеи статьи “Почему люди не меняют взгляды”, которая помогает развивать гибкость мышления.
Ключевые тезисы:
- Люди с любыми взглядами, неважно правильные эти взгляды или нет, всегда находят логические обоснования своих взглядов.
- Логика бывает “сильная” и “слабая”, и проблемы людей с ошибочными взглядами обычно заключаются в том, что они опираются на “слабую” логику. И здесь было бы полезно построить классификацию слабой логики, каких видов она бывает:
1) Выводы, основанные на малом количестве примеров. Пример я приводил выше – женщина, три раза неудачно вышедшая за отличников. В этих случаях люди обычно и сами догадываются, что логика слабая.
2) Логические выводы в областях, где наши познания очень неполны и все понятия являются махровым редукционизмом. Это, в частности, все области, связанные с психологией. Вот примеры такой слабой логики:
- Григорий Перельман защитил нобелевку, значит он очень умный;
- Гарри Каспаров стал чемпионом по шахматам, значит он очень умный, и соответственно отличный политик;
- Виталий Кличко иногда говорит нелепицы, значит он дурак и плохой руководитель.
3) Третий вид слабой логики, как мне видится, может быть объяснён в рамках традиционной формальной логики как науки (т.е. формальная логика может объяснить, почему такие логические рассуждения “слабые”). Я не помню как всё это называется, вот пример: “Если мышление – продут деятельности только мозга, то я турецкий султан”. Я пытаюсь вспомнить более конкретный и понятный пример, который я слышал два года назад, но боюсь что его всё равно нельзя будет здесь приводить, так как он связан с политикой.

[Н. Светлов]

Григорий Перельман защитил нобелевку, значит он очень умный;

Добавлю в список пункт №0: выводы, основанные на посылках, не имеющих отношения к реальности. По математике нобелевку не присуждают

[Bitman]

Н. Светлов,

Я уверен, что Вы можете ответить на обозначенный мной вопрос - как в формальной логике называется рассуждение "Если мышление – продут деятельности только мозга, то я турецкий султан”, в противовес "нормальному" рассуждению вроде "если бы мышление не было продуктом деятельности мозга, то повреждение мозга не приводило бы к нарушениям в мышлении".

[Весельчак Ы]

Составное утверждение вида «Если А, то B» называется импликацией, причем, насколько я помню, утверждение A называется антецедентом, а B – консеквентом. Импликация ложна только если антецедент истинен, а консеквент – ложен. Иначе импликация истинна. Эмпирическая истинность антецедента и консеквента, а также идейная связь между ними логику, как правило, не интересуют. Я могу проиллюстрировать это классическими примерами.

Пример 1. «Из противоречивого утверждения следует любое утверждение». Вывод формализации этой теоремы нетруден. Действительно, пусть $\mathcal L$ – формальная аксиоматическая теория для исчисления высказываний [Мен], $A$ – теорема теории $\mathcal L$, $B$ – произвольная формула (высказывание) теории $\mathcal L$. Предположим, что мы приняли $\neg A$. Тогда $\neg A\ vdash_{\mathcal L} B$. Доказательство:

$A$ теорема
$\neg A$ гипотеза
$\neg A\supset (A\supset B)$ [Мен, Лемма 1.10 (с)]
$(A\supset B)$ modus ponens
B modus ponens.

Пример 2. Доказательство Бертрана Рассела того, что если два плюс два – пять, то он – папа римский.

«Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Расселла, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил: «Вы всерьез считаете, что из утверждения «два плюс два – пять» следует, что вы папа римский?» Расселл ответил утвердительно. «И вы можете доказать это?» – продолжал сомневаться философ. «Конечно!» – последовал уверенный ответ, и Расселл тотчас же предложил такое доказательство.
1) Предположим, что 2 + 2 = 5.
2) Вычтем из обеих частей по 2: 2 = 3.
3) Переставим правую и левую части: 3 = 2.
4) Вычтем из обеих частей по 1: 2 = 1.
Папа римский и я – нас двое. Так как 2 = 1, то папа римский и я – одно лицо. Следовательно, я – папа римский». [Сма, 14.238]
Впрочем, если говорить совсем формально, то это доказательство не является выведением, ибо предложение «два плюс два – пять» является формулой, а предложение «я – папа римский» – нет.

Литература

[Мен] Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971. – 320 с.
[Сма] Рэймонд М. Смаллиан. Как же называется эта книга. – М., Мир, 1981.

[Н. Светлов]

Я уверен, что Вы можете ответить на обозначенный мной вопрос

Нет, не могу. Я никогда не изучал логику систематически, и в моих знаниях в этой области есть большие пробелы.

[Весельчак Ы]

как в формальной логике называется рассуждение "Если мышление – продут деятельности только мозга, то я турецкий султан”, в противовес "нормальному" рассуждению вроде "если бы мышление не было продуктом деятельности мозга, то повреждение мозга не приводило бы к нарушениям в мышлении".

Интуиция?

[Bitman]

Нашёл ещё пример слабой логики: если Гитлер занимался евгеникой, значит евгеника это преступление против человечности. Есть ли в формальной логике название такой импликации?

[Весельчак Ы]

По просьбе автора, потихоньку продолжаю разбор фрагментов статьи.

Bitman

В интернете встречаются “онтологическое доказательство существования Бога” Курта Гёделя.

Вот оно:



Кажется, мы говорили о нем на dxdy. Я подозреваю, что именно от моего поста там и растут ноги у этого фрагмента вашей статьи, однако важные детали были утрачены.

Не вдаваясь в его суть, стоит отметить, что оно по сути представляет собой изощрённый софизм

Хотя я и предположил что доказательство "это формализация формы (но не содержания) так называемого Онтологического доказательства существования Бога", но сам я не разбирался в нем, и даже не читал его разбор Sonicом86. Поэтому от утверждений, в чем состоит его суть, я воздерживаюсь, и моё мнение о нем не стоит ничего.

"Незнание есть слабость, тогда как знание есть сила и некоторая величина. Если эту величину обозначить через 1, то незнание будет 0.
Но известно, что сколько бы нулей ни складывать - нуль остается нулем.
Поэтому мнение хотя бы тысячи незнающих людей не может идти в сравнение с мнением одного знающего человека, ибо знание и незнание - величины несоизмеримые. Поэтому всякий, спорящий против знания и истины и полагающий, что его мнение имеет какую-нибудь цену, обнаруживает лишь крайнее невежество".
Александр Клизовский

В частности, чтобы отличать софистику от аргументации, нужно понимать, в чем состоят тезис иего доказательство. Например, можете полюбоваться, как недавно на форуме атеистического сайта я попробовал описать своё доказательство несуществования Бога и встретил было радушный прием, но потом я посмел поднять руку на священную корову Бритвы Оккама и после последовавшего проявления тупости и хамства, конечно, и о какой "дискуссии" с "оппонентами" не могло быть и речи.* С другой стороны, "Поппер различал три уровня понимания. Самый низший — это приятное чувство, что понял аргументацию. Средний уровень — это когда можешь повторить ее. Высший уро­вень — когда можешь опровергнуть ее". (Имре Лакатос "Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы".)

---
* "Дмитрий из «Пролайн-сервис» однажды стал свидетелем того, как двое его коллег спорили в курилке на отвлеченные темы. Оба при этом в высказываниях проявили удивительную глупость и невежество. Молодой человек хотел решительно и гневно вмешаться в спор, однако вначале подумал перед тем, как что-то говорить. И в итоге промолчал. На следующий день Дмитрия оскорбил один из сотрудников. Он также хотел послать обидчика ..., но, поразмыслив, смирил свой гнев и промолчал.
Комментируя этот случай, мы можем сказать, что умение думать перед тем, как говоришь - без сомнения полезно и достойно. Однако еще более полезное качество - применять это умение по обстоятельствам. Есть ситуации, в которых вначале следует подумать, и лишь потом действовать. Есть ситуации, в которых действовать следует сразу, а думать вообще необязательно. Уметь различать их не менее важно".
stelazin "Дзайбатцу-до. Путь офис-самурая. (Russian edition. Избранные места)".

Это “доказательство” тесно связано с т.н. теоремой Гёделя о неполноте.

Насколько я понимаю, оно никак не связано с теоремой Гёделя о неполноте. Можно, конечно, понимать связь широко, и считать, что любой логический парадокс связан с формализацией любого другого логического парадокса. Но даже в этом случае, я, повторяюсь, не могу точно говорить о природе гёделевского доказательства существования Бога.

подобные вещи свойственны для формальной логики

Э, подобные не как софизмы, а как формализации логических парадоксов. С софизмами же дело обстоит наоборот - четкость, строгость и однозначность формальной логики исключают софизмы (в непротиворечивых системах, конечно, о чем я уже писал выше).

и дают в ней необычные результаты.

Я писал об интересных результатах. Парадоксальность же результатов различна. Они могут быть ложными, и тогда нужно разбираться, как работает формальная система и что в ней не так. Это и делает разбор классических софизмов.

Но они могут быть и верными, хотя при этом и противоречат (наивным) ожиданиям. Такие примеры имеются как в логике, так и в математике. О формализации наивных парадоксов (с помощью гёделёвской нумерации, например) я уже писал в упомянутом выше посте на dxdy.Здесь я еще могу дать линк на парадокс лжеца и соглашусь тем, что "причиной парадокса Карри является использование в утверждении недопустимой ссылки на само себя" . Недопустимость этой ссылки обусловлена тем, что при анализе истинности утверждения наша рекурсия зацикливается и не позволяет спуститься с уровня сложных утверждений на уровень фактов, протокольных утверждений (таких как отчеты о результатах наблюдений или экспериментов), ситуаций. Т.е. в конечном итоге проверка истинности этого утверждения невозможна.

Из математических парадоксов я могу привести следующие

- Кантор доказал, что отрезок содержит столько же точек, сколько и квадрат. Здесь, в "Жизни Георга Кантора" Адольфа Френкеля изложена следующая история этого доказательства.

"Опубликованная в 1874 г. работа [10] представляет собой, наряду со средней частью статьи [5], публикацию Кантора, открывающую теорию множеств; в ней делается решительный шаг к строгому разграничению трансфинитного, особенно в отношении мощности. В наивном понятии «бесконечного» исчезали все различия, и сам Кантор вначале предполагал еще континуум счетным; в этой же статье за теоремой о счетности множества алгебраических чисел следует доказательство, что множество всех действительных чисел уже несчетно. Именно, для каждой последовательности действительных чисел Кантор строит с помощью принципа вложенных отрезков не принадлежащее ей число. Из сопоставления обоих результатов вытекает существование бесконечного множества трансцендентных чисел в любом интервале. Естественно было бы искать еще более высокие трансфинитные мощности, перейдя от одномерного континуума к многомерным. Как показывает корреспонденция Кантора с Дедекиндом, эта мысль занимала исследователя уже летом 1874 г. Насколько нужен был новый подход, чтобы вообще усмотреть здесь какую-либо проблему, видно из письма Кантора: он рассказывает, как один его друг в Берлине объявил идею об отобразимости линейного континуума на плоский «заведомо абсурдной, поскольку само собой разумеется, что две независимых переменных не сводятся к одной»; подобную же отповедь получил он позже при посещении Геттингена по случаю юбилея Гаусса в 1877 г. В письме от 20 июня 1877 г. он сообщает Дедекинду, после многолетних усилий, свою попытку построить отображение одномерного континуума на многомерный, и просит друга проверить доказательство; результат оказался для него самого в высшей степени неожиданным : “je le vois, mais je ne le crois pas” («вижу, но не верю») и, как он думал, колеблющим понятие размеренность, т. е. возможность охарактеризовать размерность числом независимых координат. В ответе Дедекинда указывается пробел в доказательстве (позже устраненный с помощью несложного приема Юлиусом Кенигом); это побудило Кантора перейти от первоначально использованных им разложений в десятичные дроби к представлениям цепными дробями. Далее, Дедекинд, защищая понятие размерности, подчеркивает значение требования, чтобы соответствие было непрерывным.
По существу, усовершенствованное доказательство, сообщенное затем в письме Дедекинду, и содержится в работе [11], где устанавливается независимость мощности континуума от его размерности. В этой работе, между прочим, вводится уже понятие эквивалентности, понятие мощности и высказывается гипотеза континуума. Здесь содержится также, без доказательства, утверждение о сравнимости мощностей; ясно, что в то время (и еще долго впоследствии) Кантор считал это свойство самоочевидным.
Опубликование этой работы в «Журнале Крелля» не обошлось без трудностей; она пролежала в редакции, после поступления 12 июля 1877 г., дольше обычного тогда срока и гораздо дольше, чем это допускало нетерпение Кантора, хотя за нее и вступился Вейерштрасс. В ноябре автор горько жаловался Дедекинду, что печатание статьи, вопреки заверениям редакции, «совершенно непостижимым для него образом» затягивается и откладывается в пользу работ, поступивших позднее; вероятно, причина заключалась в парадоксальности ее результата для того времени. К счастью, Дедекинду удалось, ссылаясь на собственный опыт, отговорить друга от опрометчивого намерения забрать рукопись и напечатать ее в виде отдельного сочинения; вскоре трудности в редакции рассеялись, и статья вышла из печати. Это была, однако, последняя публикация Кантора в «Журнале Крелля»; если даже допустить, что Кантор придал слишком серьезное значение задержке опубликования, причиной ее было уже, по-видимому, отрицательное отношение Кронеккера к идеям своего ученика, из которого впоследствии и развился кризис 1884 года".

- Парадокс Банаха-Тарского

- Парадокс большого радиуса многомерного шара (по Дж. Ивингу, "The Mathematical Intellingencer" 3:1 (1980), c. 45-46, см. "Квант" 1987 № 2, с. 6-7).

Последний софизм следует рассмотреть подробнее.

Да, я разбирал его несколько часов, пока не понял, в чем дело.

Он представляет собой не что иное, как суть знаменитого онтологического доказательства существования Бога, предложенного Р. Декартом.

Нет, доказательство Декарта мне тоже известно. Оно действительно близко по сути к онтологическому доказательству Ансельма Кентерберийского, но у Декарта оно опиралось на основное правило его "метода, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках": "всё представляемое нами вполне ясно и отчетливо - истинно", а суть его в том, что раз существует (в нашем мышлении, уме) представление (идея) о всесовершенном существе, то (необходимо) существует и само это существо. А вот и само это доказательство.

"Вследствие чего, размышляя о том, что, раз я сомневаюсь, значит, мое бытие не вполне совершенно, ибо я вполне ясно различал, что полное постижение - это нечто большее, чем сомнение, я стал искать, откуда я приобрел способность мыслить о чем-нибудь более совершенном, чем я сам, и понял со всей очевидностью, что это должно прийти от чего-либо по природе действительно более совершенного. Что касается мыслей о многих других вещах, находящихся вне меня,- о небе, Земле, свете, тепле и тысяче других, то я не так затруднялся ответить, откуда они явились.

Ибо, заметив, что в моих мыслях о них нет ничего, что ставило бы их выше меня, я мог думать, что если они истинны, то это зависит от моей природы, насколько она наделена некоторыми совершенствами; если же они ложны, то они у меня от бытия, т.е. они находятся во мне потому, что у меня чего-то недостает. Но это не может относиться к идее существа более совершенного, чем я: получить ее из ничего - вещь явно невозможная. Поскольку неприемлемо допускать, чтобы более совершенное было следствием менее совершенного, как и предполагать возникновение какой-либо вещи из ничего, то я не мог сам ее создать. Таким образом, оставалось допустить, что эта идея была вложена в меня тем, чья природа совершеннее моей и кто соединяет в себе все совершенства, доступные моему воображению, - одним словом. Богом. К этому я добавил, что, поскольку я знаю некоторые совершенства, каких у меня самого нет, то я не являюсь единственным существом, обладающим бытием (если вы разрешите, я воспользуюсь здесь терминами схоластически), и что по необходимости должно быть некоторое другое существо, более совершенное, чем я, от которого я завишу и от которого получил все, что имею. Ибо если бы я был один и не зависел ни от кого другого, так что имел бы от самого себя то немногое, что я имею общего с высшим существом, то мог бы на том же основании получить от самого себя и все остальное, чего, я знаю, мне недостает. Таким образом, я мог бы сам стать бесконечным, вечным, неизменным, всеведущим, всемогущим и, наконец, обладал бы всеми совершенствами, какие я могу усмотреть у Бога".
"Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках"

Я полагаю, что детальному разбору и обсуждению своего доказательства и его следствий Декарт позднее посвятил обширные "Размышления о первой философии, в коих доказывается существование Бога и различие между человеческой душой и телом", являющиеся главным собственно философским произведением Декарта, но я пока их не читал.

Декарт определил Бога как существо, обладающее всеми мыслимыми свойствами.

Тоже нет. Продолжаю цитату. "Соответственно этим последним соображениям, для того чтобы познать природу Бога, насколько мне это доступно, мне оставалось только рассмотреть все, о чем я имею представление, с точки зрения того, является ли обладание ими совершенством или нет, и я обрел бы уверенность в том, что все то, что носит признаки несовершенства, в нем отсутствует, а все совершенное находится в нем. Таким образом, я видел, что у него не может быть сомнений, непостоянства, грусти и тому подобных чувств, отсутствие которых радовало бы меня. Кроме того, у меня были представления о многих телесных и чувственных предметах, ибо, хотя я и предполагал, что грежу и все видимое или воображаемое мною является ложным, я все же не мог отрицать того, что представления эти действительно присутствовали в моем мышлении. Но, познав отчетливо, что разумная природа во мне отлична от телесной, и сообразив, что всякое соединение свидетельствует о зависимости, а зависимость очевидно является недостатком, я заключил отсюда, что состоять из двух природ не было бы совершенством для Бога и, следовательно, он не состоит из них".

[Bitman]

Ну вот. Придётся переписывать статью.
Пользуясь случаем, дам на неё ссылку:

http://grandrienko.com/logics.html

[Весельчак Ы]

Можете пока не переписывать - у меня ещё есть замечания.

[Нгаан]

"Незнание есть слабость, тогда как знание есть сила и некоторая величина. Если эту величину обозначить через 1, то незнание будет 0..."

А если положить, что незнание это -1, а не 0, что тогда получится (в системе представлений г-на Клизовского)?

[Весельчак Ы]

"-1" в системе представлений А. Клизовского это предательство и сатанизм.

[Нгаан]

это предательство и сатанизм.

Круто!

Он работает только в пределах от 1 до -1, или возможны и другие числовые значения?

► Показать

Армейский анекдот:
"Прапорщик наставляет новобранцев:
- Все вы знаете, что значение синуса находится в промежутке (-1, 1). Но я вам скажу, что это всё чепуха! В особых случаях, а тем более в военное время, значение синуса способно достигать ЧЕТЫРЁХ!"

Как насчёт комплексных чисел или разложения личности по нескольким координатам?

Наконец, как насчёт флюксий? Что если мера компетентности гражданина стремится к 0, но ему не равна?
Во что сложится мнение таких "нулей", если их количество достаточно велико (стремится к бесконечности)?

[Н. Светлов]

Вот оно:

Сделав попытку разобраться в новой (для меня) теореме Гёделя, не обращаясь к другим источникам, я завис на обозначениях, которые не понял - например, NP(φ) и N~P(φ). Из-за этого мне непонятно определение существования, а без него - и почти всё остальное.

Точка - это, похоже, конъюнкция?

Как бы то ни было, в связи с формальным доказательством следует отметить вот какую проблему. Взять, например, любимый мной пример с числом π. Доказать существование этого числа нет проблем. Но найти в физической реальности объект, в интерпретации которого число π появляется в точности, а не в приближении, невозможно. Или ещё более простой и понятный пример: в ряду натуральных чисел может существовать число, превышающее любое наперёд заданное число. В реальности мы никогда не найдём объект, номер которого превышает любое наперёд заданное число. Всё это означает, что любая, даже самая обобщённая, формальная система имеет границы интерпретации, а вопрос о боге остаётся открытым.

[Нгаан]

Взять, например, любимый мной пример ...

Кошки существа попроще, и предпочитают корень из 2.

Хотя с точки зрения рассмотрения описания реальности наиболее интересным могло бы показаться основание натурального логарифма e, благо без него ни в одно уравнение, описывающее реальные процессы на влезешь.

[Весельчак Ы]

Нгаан

Все вы знаете, что значение синуса находится в промежутке (-1, 1). Но я вам скажу, что это всё чепуха! В особых случаях, а тем более в военное время, значение синуса способно достигать ЧЕТЫРЁХ!"

Насколько я помню, даже комплексный или гиперболический синус действительно не может быть 4. Хотя по модулю – может.

Как насчёт комплексных чисел или разложения личности по нескольким координатам?

Это Вам к Гумилеву, сюда и к психологам – любителям многопараметрических тестов.

А один из кошачьих (Лев Толстой) даже делил действительную часть на мнимую:

«Человек есть дробь. Числитель - это сравнительно с другими - достоинства человека; знаменатель - это оценка человеком самого себя. Увеличить своего числителя - свои достоинства, не во власти человека, но всякий может увеличить своего знаменателя - свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству».

Наконец, как насчёт флюксий? Что если мера компетентности гражданина стремится к 0, но ему не равна?
Во что сложится мнение таких "нулей", если их количество достаточно велико (стремится к бесконечности)?

«1 Кюри = 37 000 Резерфордов, 1 Резерфорд = 1 000 000 Беккерелeй».
Справочник по физике

«К законам общности от сути частности
приходишь без долгих раздумий:
сумма талантов равна их разности,
а сумма бездарностей – сумме».
Пит Хейн «Арифметика сотрудничества»

PS. Бесконечные ряды имеют разные суммы, в зависимости от того, как быстро убывают их члены. Например, гармонический ряд 1/1+1/2+1/3+1/4+ ... имеет бесконечную сумму, а ряд 1/1+1/2²+1/3²+1/4²+ имеет сумму π²/6.

Кошки существа попроще,

Т.е. у них меньше делителей.

Н. Светлов

Точка - это, похоже, конъюнкция?

Да, похоже.

Сделав попытку разобраться в новой (для меня) теореме Гёделя, не обращаясь к другим источникам, я завис на обозначениях, которые не понял - например, NP(φ) и N~P(φ).

Видимо, N обозначает необходимость, а М – возможность. Тогда это модальная логика, в которой я не силен. На dxdy Sonic86 вроде разбирал это доказательство.

найти в физической реальности объект, в интерпретации которого число π появляется в точности, а не в приближении, невозможно.

Почему?

Возможно, в прошлой жизни Вы были πифагорейцем. Их основной принцип состоял в том, что в основе мироздания лежат натуральные числа. Рациональные числа рассматривались как отношение (ratio) натуральных. Поэтому, по легенде в духе древнегреческой драмы, Ипатий, ученик Пифагора, доказавший теорему об иррациональности корня из двух, был за это сброшен другими пифагорейцами с корабля в Средиземное море, а саму его теорему было решено забыть и впредь никогда не открывать под страхом смерти.

Вот Вам материал в помощь:

– Irrational numbers in reality
– How irrational quantities physically exist in nature?
– Is it possible for a physical object to have a irrational length?

В реальности мы никогда не найдём объект, номер которого превышает любое наперёд заданное число.

Это значит, что в реальности (и, в частности, в пространстве-времени) мы можем найти только конечное число объектов. А почему?

Я вышлю Вам книгу Больцано «Парадоксы безконечнаго» 1911 года, с эпиграфом Лейбница.

«Je suis tellement pour l’infinie actuel, qu’au lieu d’admettre, que la nature l’abhorre, comme l’on dit vulgairement, je tiens qu’elle l’affecte partout, pour mieux marquer les perfections de son Auteur. (Leibniz. Opera omnia studio Ludov. Dutens. Tom. II. part. I. p. 243). (Я в такой мере стою за актуальную бесконечность, что не только не допускаю, что природа боится ее, как обыкновенно выражаются, но и признаю, что природа всюду являет именно такую бесконечность, чтобы лучше отметить совершенство своего Творца)».

Как бы то ни было, в связи с формальным доказательством следует отметить вот какую проблему. ... Всё это означает, что любая, даже самая обобщённая, формальная система имеет границы интерпретации, а вопрос о боге остаётся открытым.

Мне не удалось понять, как общее заключение следует из двух декларированных частных примеров. Также я хотел бы процитировать фрагмент своего старого поста.

«Кроме того, логическая принудительность это принудительность в мышлении. Но соответствует ли ей принудительность и в Мире?! Например, известный французский математик Поль Леви так писал по поводу парадокса Зенона об Ахиллесе и черепахе: «Почему можно воображать себе, что время остановит свой ход вследствие того, что некий философ занимается перечислением членов сходящегося ряда? Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущенными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс, или, точнее, есть тот самый ответ, который я резюмировал тогда такой немногословной формулой: «Этот грек был идиотом»». »

[Bitman]

«Кроме того, логическая принудительность это принудительность в мышлении. Но соответствует ли ей принудительность и в Мире?! Например, известный французский математик Поль Леви так писал по поводу парадокса Зенона об Ахиллесе и черепахе: «Почему можно воображать себе, что время остановит свой ход вследствие того, что некий философ занимается перечислением членов сходящегося ряда? Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущенными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс, или, точнее, есть тот самый ответ, который я резюмировал тогда такой немногословной формулой: «Этот грек был идиотом»».

Мне кажется, это скорее Поль Леви был идиотом ). Рассуждения греков я понимаю так: время, когда Ахилл догонит черепаху - это сумма бесконечного количества конечных отрезков. Любое конечное число (скольк угодно малое), если его взять бесконечное число раз, превращается в бесконечность. Т.е. мы имеем истину, слегка противоречащую здравому смыслу и соответственно вызывающую у греков лёгкий когнитивный диссоннанс.
Я думаю, у современного человека этот диссонанс меньше, поскольку мы пользуемся десятичными числами. Например, число

8.88888888888888...

Это тоже сумма бесконечного сходящегося ряда, и мы хорошо видим что оно конечно, и это понимание не вызывает у нас никакого диссонанса. Я писал об этом в своей статье.

[Нгаан]

Любое конечное число (скольк угодно малое), если его взять бесконечное число раз, превращается в бесконечность.

Теория пределов, батенька, даёт нам массу иных примеров, о которых выше и пытался сказать Весельчак.

PS. Бесконечные ряды имеют разные суммы, в зависимости от того, как быстро убывают их члены. Например, гармонический ряд 1/1+1/2+1/3+1/4+ ... имеет бесконечную сумму, а ряд 1/1+1/22+1/32+1/42+ имеет сумму π2/6.

Меня же интересовала как раз не сама теория в математическом приложении, а то насколько неоднозначными могут быть попытки манипуляции математическими объектами в приложении к социальным, культурным и прочим "трудно-измеримым в цифрах" категориям.

[Н. Светлов]

Теория пределов, батенька, даёт нам массу иных примеров, о которых выше и пытался сказать Весельчак.

Греки ещё не открыли теорию пределов.

Возможно, некоторые самые искушённые в математике греки имели представление о том, что сумма бесконечного ряда может быть конечной, но не факт, что именно они заинтересовались дискуссией об Алхиллесе и черепахе; а если заинтересовались - не факт, что остальные поняли их аргументы.

Возможно, в прошлой жизни Вы были πифагорейцем.

Нет-нет. Я вполне допускаю, что соизмерение двух физических величин может привести к иррациональному числу. Более того: полагаю, что оно "почти никогда" (в смысле плотности вероятности, которая меньше любого наперёд заданного положительного числа) не бывает рациональным, если измеряемые величины континуальны. Но точно так же оно "почти никогда" не окажется равным наперёд заданному иррациональному числу. Чтобы вероятность такого события оказалась конечной, требуется, чтобы мощность множества возможных измерений оказалась больше мощности континуума. Далеко не факт, что это так и есть.

Это значит, что в реальности (и, в частности, в пространстве-времени) мы можем найти только конечное число объектов.

Не значит. И даже в математике не значит. Любой элемент любого бесконечного счётного множества имеет конечный номер. То есть если утверждение "существует натуральное число, превосходящее любое наперёд заданное число N" (а именно - хотя бы N+1) является теоремой, то утверждение "в счётом множестве существует элемент, не имеющий конечного номера" теоремой не является - напротив, теоремой является его отрицание. Для того, чтобы мы были в состоянии найти элемент, номер которого превосходит любое наперёд заданное натуральное число, требуется N ¬(N+1).

Я вышлю Вам книгу Больцано «Парадоксы безконечнаго» 1911 года, с эпиграфом Лейбница.

Прилетела. Спасибо!

Мне не удалось понять, как общее заключение следует из двух декларированных частных примеров.

Примеры оправдывают введение в метатеорию аксиомы "Интерпретация имеет границы" ("существуют теоремы, соответствующие ложным высказываниям хотя бы в одной интерпретации").

насколько неоднозначными могут быть попытки манипуляции математическими объектами в приложении к социальным, культурным и прочим "трудно-измеримым в цифрах" категориям

Верить никому нельзя. Даже Мюллеру Гёделю