Непостижимая эффективность математики в естественных науках

[Нгаан]

Вот не понимаю я: шахматы это у вас что тоже естественная наука?

Одинаковость козьих орешков неудивительна.

Вы это проверяли с микрометром?

[Весельчак Ы]

Нгаан

Вы это проверяли с микрометром?

Я - профессиональный ученый, поэтому мне достаточно ссылки на Пойа.

[Нгаан]

Ну, тогда передайте вашему Пойа, что:

"если при повторных измерениях некоторой величины получены одинаковые числовые значения, то это свидетельствует не об отсутствии случайных отклонений, а о недостаточной чувствительности измерительного прибора".

[Н. Светлов]

Как-то так естественным путём вся дискуссия ушла в исследование онтологических причин "непостижимой эффективности математики" - по сути, сосредоточилась на соотношении между математикой и устройством мира. И это вполне понятно, потому что Вигнер ставит вопрос именно в этом ключе.

А ведь к этой проблеме можно подобраться и совсем с другой стороны - со стороны теории формальных систем. А теория формальных систем говорит нам, что теория чисел является моделью (точнее, метасистемой) любой формальной системы. Подчёркиваю: "любой", а не "любой другой". Это научно установленный факт, который вообще никак не зависит от реального мира - только от самой теории чисел. И что, спрашивается, из него следует? А из него следует, что если существует хоть какая-то формальная система (обозначим её буквой Ω), "непостижимо эффективная" для исследования какого-то одного частного процесса или явления, то эта Ω может быть описана на языке теории чисел, и на этом же языке можно доказать не только теоремы системы Ω, но и теоремы об её теоремах, позволяющие проверять, является ли данная формула теоремой системы Ω, даже не применяя правила вывода самой системы Ω!

Тянет этот факт на разгадку?

Добавлю сюда, что теория чисел в этом отношении не одинока. Тем же свойством обладает любая формальная система первого порядка (теория чисел относится к их числу).

Однако у этого вывода есть свои границы, и эти границы возвращают нас в пространство онтологии. Я отмечу два рода таких границ. Первый связан с тем, что все формальные системы первого порядка содержат в себе аксиому (или теорему) "непротиворечивости", имеющую вид ¬(А˄¬А). Суть её в том, что одно и то же высказывание не может быть "истинным" и "ложным" "одновременно" (кавычки указывают, что в самой формальной системе таких понятий нет: это одно из возможных прочтений аксиомы человеком). На деле в квантовой механике эта аксиома, строго говоря, неверна, и поэтому теория чисел в принципе не годится для описания микромира: она может описывать только последствия наблюдений, которые согласуются с этой аксиомой. Так что никакая формальная система первого порядка (и никакая формальная система, метасистемой которой является какая-либо ф.с.п.п.) не может быть подходящей (то есть "непостижимо эффективной") моделью микромира.

Второй род границ связан с тем, что мы не знаем, может ли быть моделью микромира формальная система, не содержащая аксиомы (или теоремы) "непротиворечивости" или же его нельзя замоделировать вообще никакой формальной системой. Неизвестно, существует ли, и может ли существовать, какая-либо реальность, в принципе не моделируемая с помощью знаков. Но если она существует, то для такой реальности не существует никаких "непостижимо эффективных" формальных систем, в силу чего она вообще никак не доступна нашему познанию. Как следует из моих сообщений выше, я не исключаю существования такой реальности, хотя для нас, людей, вопрос об её существовании или несуществовании праздный. Он может иметь смысл лишь при попытках ответа на вопрос о том, почему мир таков, как есть, хотя логически состоятельны и другие миры. Тогда, получается, он на самом деле вовсе не таков - просто мы видим его часть, такую, каковы мы сами.