Bitman,
Disclaimer: я занимаюсь преимущественно общей топологией, а не маломерной, а мои знания теории узлов очень поверхностны и фрагментарны.
Bitman писал(а): 12.10.2023, 21:41
Если не путаю, в четырёхмерном пространстве можно распутать любой узел из одномерной линии.
Я тоже слышал об этом, но доказательства не видел. Впрочем, я его специально не искал.
Bitman писал(а): 12.10.2023, 21:41
Интересно, как теория узлов выглядела бы для четырёхмерного пространства. Если не путаю, в четырёхмерном пространстве можно распутать любой узел из одномерной линии. А что с узлами из двумерной поверхности?
Мне кажется, во многомерном случае под узлом должно пониматься вложение k (т.е инъективное непрерывное отображение) m-мерной сферы S
m в n-мерное евклидово пространство R
n, n>m. Узел k распутывается, если существует такое непрерывное отображение F:R
nx[0,1], что
(1) для всех t из [0,1], отображение F(•,t), переводящее точку x в F(x,t), является гомеоморфизмом пространства R
n;
(2) F(x,0)=x для всех x из R
n;
(3) F(k(y),1)=k_0(y) для всех y из S
m, где k_0 – распутанный узел, например, естественное вложение S
m⸦R
m+1⸦R
n сферы S
m в R
n.
Для обычного узла m=1 и n=3. Уже теория обычных узлов довольно сложная, а общая теория, наверное, еще сложнее. Даже в случае m=2 и n=3 уже есть такие нетривиальные вложения как
рогатая сфера Александера.
Allen Hatcher пишет в «Algebraic Topology»:
«As a special case of (b) we have the Jordan curve theorem: A subspace of S
2 homeomorphic to S
1 separates S
2 into two complementary components... One could just as well use R
2 in place of S
2 here since deleting a point from an open set in S
2 does not affect its connectedness. More generally, (b) says that a subspace of S
n homeomorphic to S
n-1 separates it into two components ... . However, there are examples where these complementary components are not simply-connected, for example the well-known Alexander horned sphere in S
3... . These complications involving embedded S
n-1’s in S
n are all local in nature since any locally nicely embedded S
n-1 in S
n is equivalent to the standard S
n-1⸦ S
n, in the sense that there is a homeomorphism of S
n taking the embedded S
n-1 onto the standard equatorial S
n-1, so in particular both complementary regions are homeomorphic to open balls; see [M.Brown] for a precise statement and proof of this. When n=2 it is a classical theorem of Schoenflies that this holds for arbitrary embeddings S
1⸦
→ S
2. ... By contrast, when we come to embeddings of S
n-2 in S
n, even locally nice embeddings need not be equivalent to the standard one. This is the subject of knot theory, including the classical case of knotted embeddings of S
1 in S
3 or R
3».
Таким образом, насколько я понимаю, вложение S
2 в R
4 может и не распутываться. А распутываться уже, возможно, будут вложения S
2 в R
5 или даже R
6.
Отправлено спустя 1 минуту 59 секунд:
Bitman писал(а): 03.08.2023, 13:41
Там на форуме несколько ссылок на Горькавого, подскажите источник вашей цитаты.
ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ-ВСЕЛЕННАЯ-Горькавый-электронная-версия-07-25-2023-1.pdf, с.10.
