Решение задач

[Alex Ivanov]

У моего сына в 4-м классе на экзамене по математике была вот такая интересная задача: "Найти число меньше 100 которое при делении на 9 дает остаток 8 и при делении на 7 дает остаток 6."

Я попробовал ее решить. Решил сначала простым перебором. Потом решил составить уравнение. Ничего не получилось.
Потом подумал что для ребенка 4-го класса решение должно быть простым и быстрым потому что экзамен ограничен по времени. Нужно решить еще 10 других задач. Поэтому решение одной задачи должно занимать 3-4 минуты.

После долгого размышления я понял что решение находится в условиях задачи. Если известно что искомое число делится и на 9 и на 7, то нужно просто их перемножить и вычесть один потому что оба остатка меньше делителя на один.

[skor]

Решение для 4-го класса
Числа из диапазона (0, 100), которые при делении на 9 дают остаток 8:
8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 89, 98.
Числа из диапазона (0, 100), которые при делении на 7 дают остаток 6:
6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97.
Общее число -- 62.

Решение для 11-го класса
Чтобы было интереснее, будем искать все такие , которые при делении на 9 дают остаток 8, а при делении на 7 дают остаток 6.

Запишем систему уравнений:

Значения переменных , и -- натуральные числа.

Исключая из системы , получаем:


Перейдя к сравнениям по модулю 9, мы можем исключить переменную :


Вычитаем 6 из обеих частей уравнения:


Самое сложное и нетривиальное в этом решении -- это то, что нужно догадаться домножить обе части уравнения на 4, чтобы в левой части образовалось , которое по модулю 9 будет равно :


Перейдя обратно из модульной арифметики в обычную, мы получаем выражение для :


Подставляя во второе уравнение системы, получаем:


Таким образом, число может принимать значения: