Существование математических объектов (на правах философии)
Добавлено: 17.02.2017, 21:15
Я полагаю, всем интуитивно понятно такое рассуждение: мнимые числа “существуют в меньшей степени”, чем действительные, кватернионы в ещё меньшей степени, седенионы – в ещё меньшей, 1/0 в ещё меньшей и т.д. Я на dxdy предлагал оценить количественно “степень существования” разных математических объектов, но меня там не поддержали.
Попробую обосновать названное рассуждение. Предположим, мы выращиваем яблоки. Тогда для практических целей нам имеет смысл ввести модель – целые числа. Эти числа описывают количество яблок на каждой яблоне. Данная модель поможет делать какие-то предсказания и будет, очевидно, полезна.
Яблонь на Земле много, эта модель подходит для многих ситуаций. Но какую бы яблоню мы не взяли, мы не можем найти такую, на которой яблок отрицательное количество. Таким образом, в рамках данной модели отрицательных чисел не существует.
Теперь другая задача: предположим, мы строим дом. Для этого нам полезно ввести другую модель – действительное число, характеризующее высоту объекта над уровнем земли. В этой модели уже могут быть отрицательные числа – чтобы строить подвал, ими можно пользоваться.
И вот получается, что моделей, в которых отрицательных чисел не существует, гораздо больше, чем моделей, в которых они есть. Отсюда мы можем заключить, что отрицательные числа как бы “существуют в меньшей степени”. Очевидно, моделей, в которых есть мнимые числа, ещё намного меньше, и т.д.
Слабое место таких рассуждений – слова “этих моделей больше чем тех”. Модель – это нечто субъективное, модели придумываются человеком для решения каких-то задач. Или это всё же нечто объективное?
В случае с яблонями мы можем также утверждать, что числа гугол не существует, значит это число тоже в рамках “математики в целом” существует в чуть-чуть меньшей степени, чем число 1.
Попробую обосновать названное рассуждение. Предположим, мы выращиваем яблоки. Тогда для практических целей нам имеет смысл ввести модель – целые числа. Эти числа описывают количество яблок на каждой яблоне. Данная модель поможет делать какие-то предсказания и будет, очевидно, полезна.
Яблонь на Земле много, эта модель подходит для многих ситуаций. Но какую бы яблоню мы не взяли, мы не можем найти такую, на которой яблок отрицательное количество. Таким образом, в рамках данной модели отрицательных чисел не существует.
Теперь другая задача: предположим, мы строим дом. Для этого нам полезно ввести другую модель – действительное число, характеризующее высоту объекта над уровнем земли. В этой модели уже могут быть отрицательные числа – чтобы строить подвал, ими можно пользоваться.
И вот получается, что моделей, в которых отрицательных чисел не существует, гораздо больше, чем моделей, в которых они есть. Отсюда мы можем заключить, что отрицательные числа как бы “существуют в меньшей степени”. Очевидно, моделей, в которых есть мнимые числа, ещё намного меньше, и т.д.
Слабое место таких рассуждений – слова “этих моделей больше чем тех”. Модель – это нечто субъективное, модели придумываются человеком для решения каких-то задач. Или это всё же нечто объективное?
В случае с яблонями мы можем также утверждать, что числа гугол не существует, значит это число тоже в рамках “математики в целом” существует в чуть-чуть меньшей степени, чем число 1.
