Гипершар и всё, всё, всё...

[halayudha]

По совету Сократа начнём с простого: "превращая" окружность в шар, изменяем ли мы длину окружности? По моему - нет. А "превратив" шар в гипершар, изменяем ли мы длину окружности и площадь поверхности? По моему тоже - нет. Отсюда предположение: формулой нахождения площади поверхности гипершара (т.е. вообще n-мерного шара, кроме окружности) является 4*П*r^2.
Я поставил себе такую задачу: выстроить в ряд известные формулы (ограничившись "проверенными" тремя измерениями) и продолжить ряд. Ряд отчаянно сопротивлялся. Но всё сошлось после того, как из него были удалены формулы "похожие" на соседей (понимаю, что всё жутко туманно, но продолжу). Т.е. площадь поверхности шара явно ломает ряд после площади окружности... Получились два столбца формул. Брат (программист) подсказал, что формулы одного ряда являются производными формул другого. Позднее были найдены описанные ниже формулы. Ясно, что при n=4 получается не то, что в учебниках и справочниках.

(2R)^n * П)/2n
Где n - номер измерения (nD), область определения n (+2; + бесконечность), R - радиус, П - пи. Получаем как вполне знакомые формулы вычисления площади круга и объёма шара, так и (термин отсутствует, предлагаю “гиперобъём”, как рабочий) 4D шара, и т.д. и т.п., до бесконечности...

Производная по n от неё:

(2R)^n-1 * П
Где n - номер измерения (nD), область определения n (+2; + бесконечность), R - радиус, П - пи.

При n=2, длинна окружности, n=3, площадь поверхности шара, объём гипершара и т.д. и т.п., до бесконечности...

Из всего этого я сделал вывод: объём (V) увеличивается при построении гипершара (V гипершара). Исходя из моих предположений объём (V) гипершара больше не изменяется при построении 5D и т.д. шаров! Гиперобъём (G) изменяется единожды - при построении 5-ти мерного шара из 4D шара. И далее он - константа! Разницу между объёмом шара и объёмом гипершара понимают, я думаю, все, как и разницу между площадью круга и площадью поверхности шара.

Есть такой "закон": одно совпадение - случайность, второе - наводит на размышление, третье - становится правилом. У меня нет третьего, да и второе можно считать с "натяжкой", я понимаю. Кроме рассуждений шатких предъявить нечего.

Больше - здесь:
[url]http://www.elite-games.ru/conference/viewtopic.php?t=33810&postdays=0&postorder=asc&start=460
[/url]

[rudy]

Да-а... плохо у нас с математикой-то...
Ей богу не пойму, причем здесь все эти "превращения" окружности в шар и т.д.
Не нужно мешать в один ряд сферы и шары - это разные геометрические и топологическмие тела.
Не имеет смысла сравнивать объемы тел разной размерности, и, значит, говорить об их изменении. Численная величина объемов шаров и сфер (при R=1) в действительности же все время меняется с изменением их размерности.
n - число измерений, а не номер измерения.

Общие формулы (они связаны) гиперобъема n-мерного шара радиуса R и гиперплощади его поверхности - (n-1)-мерной сферы радиуса R в n-мерном пространстве:
v(n)=Pi^(n/2)/(n/2)!*R^n и s(n-1)=n*v(n)=2*Pi^(n/2)/(n/2-1)!*R^(n-1)

Здесь функция (x)! факториала определена и при любых, в том числе нецелых x>-1, по формуле: (x)! = integral(t^x*exp(-t),t=0..infinity)
и обладает свойствами (x)! = x*(x-1)!, (0)! =1, (-1/2)! = Pi^(1/2),
что дает
При целых положительных x=n:
(n)! = 1*2*...*(n-1)*n.
При полуцелых положительных x=n+1/2:
(n+1/2)! = (-1/2)!*1*3*5*...*(2*n-1)*(2*n+1)/2^(n+1) = (2*n+1)!/n!/2^(2*n+1)*Pi^(1/2)

Тогда, для четных размерностей n=2*m пространства:
v(n)=Pi^m/m!*R^n и s(n-1)=2*Pi^m/(m-1)!*R^(n-1)
а для нечетных n=2*m+1:
v(n)=Pi^m*2^(2*m+1)*m!/(2*m+1)!*R^n и s(n-1)=Pi^m*2^(2*m)*(m-1)!/(2*m-1)!*R^(n-1)

рекуррентная формула для единичного радиуса (R=1):
v(n)=2*Pi/n*v(n-2) и s(n-1)=2*Pi/(n-2)*s(n-3)
ряд:
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
v(n) | 1 | 2 | Pi | 4/3*Pi | 1/2*Pi^2 | 8/15*Pi^2 | 1/6*Pi^3 |
s(n-1) | 0 | 2 | 2*Pi | 4*Pi | 2*Pi^2 | 8/3*Pi^2 | Pi^3 |

Формулы выводятся на основе многомерных интегралов вида:
integral(exp(-t^2),t=0..infinity)
Если нужно, могу привести расчеты.

[halayudha]

Под "превращением" подразумевается добавление ещё одного измерения к уже имеющимся.
Если не трудно, приведите, пожалуйста, формулу нахождения длины окружности n-мерного шара. Как это - такой нет?

Не имеет смысла сравнивать объемы тел разной размерности, и, значит, говорить об их изменении. Численная величина объемов шаров и сфер (при R=1) в действительности же все время меняется с изменением их размерности.

Два взаимоисключающих заявления.

Я ни разу не упомянул слово "сфера"!
Замените в моих формулах номер измерения на кол-во измерений. Не вижу проблемы.
Так, совсем немножечко стало понятно: то, что я разделил на два ряда, вы пытаетесь втиснуть в один.
Формулу нахождения "гиперобъёма" гипершара - в студию, извините, кхм.

[visor]

*В удаве много роста* ("38 попугаев")

Попробую сказать популярнее (математики, поправляйте).
По-моему, главный вопрос затронутый здесь: меняется ли объем (гипер)шара при увеличении размерности? Вначале кажется, что нет. Т.к., например, длина окружности и длина окружности шара одинаковы, то и с объемом шара и гипершара будет то же самое.

Вольно или невольно halayudha придумал задачку типа Перельмановских из "Занимательной физики".

Не прибегая к формулам попробуем решить ее так.
Когда мы говорим о длине окружности шара, то подразумеваем ведь длину окружности сечения этого шара, т.е. имеем в виду объект с уменьшенной размерностью. Однако на самом шаре таких окружностей с одинаковой длиной мы можем нарисовать бесконечное количество.

То же самое с объемом гипершара. В нём как бы бесконечное количество "3D " шаров с неизменным радиусом и "3D"-объёмом.

[halayudha]

Нет, всегда имеется ввиду только та окружность, которую построили с помощью сечения шара плоскостью, пересекающей центр данного шара. Кол-во таких сечений не имеет значения.

[visor]

Ну, да. Но Вы берете одно сечение (сферы, шара), которое ничем не будет отличаться от простой(го) (окружности, круга).

Сечение четырехмерного шара - трехмерный шар с техмерным объемом.
Для объектов с бОльшим чем 3 количеством измерений уже не вводится новых единиц измерения (к имеющимся: длина, площадь, объем), а говорят о гиперобъёме. И этот n-мерный гиперобъём меняется с увеличением мерности пространства.

[halayudha]

Попробуйте плоскостью произвести сечение шара, радиусом r, и гипершара, радиусом r и определите длину полученных окружностей.

[rudy]

Под "превращением" подразумевается добавление ещё одного измерения к уже имеющимся.
Если не трудно, приведите, пожалуйста, формулу нахождения длины окружности n-мерного шара. Как это - такой нет?

Как самостоятельного явления - нет. Если под окружностью n-мерного шара вы имеете в виду обычную одномерную окружность, то ее длина
(одномерный объем) равна 2*Pi по определению числа Pi, если (n-2)-мерную гиперокружность на поверхности этого шара - то это просто сфера размерности n-2, и ее гипердлина ((n-2)-мерный объем) равна s(n-2)=2*Pi^((n-1)/2)/((n-3)/2)!*r^(n-2) - уже известная формула, где r - радиус гиперокружности.
Соответсвенно, гиперкруг это просто (n-1)-мерный шар, и его гиперплощадь ((n-1)-мерный объем) равен v(n-1)=Pi^((n-1)/2)/((n-1)/2)!*r^(n-1) - формула, также уже данная, где r - радиус гиперкгуга.

Гиперокружность в n-мерном пространстве это некасательное сечение некоторых гиперсферы ((n-1)-мерной сферы) и гиперплоскости ((n-1)-мерного пространства), а гиперкруг ((n-1)-мерный шар) - некоторых гипершара и гиперплоскости. Если сечение диаметральное (гиперплоскость проходит через центр гипер-сферы/шара радиусов R), то радиусы полученных сечений (гипер-окружности/круга) те же: r=R.

Не имеет смысла сравнивать объемы тел разной размерности, и, значит, говорить об их изменении. Численная величина объемов шаров и сфер (при R=1) в действительности же все время меняется с изменением их размерности.

Два взаимоисключающих заявления.

Не путайте размерную величину и ее численное значение (уже безразмерная величина). Численные значения можно сравнивать.
К примеру, длина 52 метра и площадь 20 метров^2 - размерные величины, и они несравнимы. Их численные значения, если за единицы взяты метр и метр^2: 52 и 20 - безразмерные величины, их можно сравнивать. Я сравнивал объемы тел единичного радиуса, тогда они безразмерны.

Я ни разу не упомянул слово "сфера"!
Замените в моих формулах номер измерения на кол-во измерений. Не вижу проблемы.

Не в формуле, а в определении. Важен точный смысл, однако.

Так, совсем немножечко стало понятно: то, что я разделил на два ряда, вы пытаетесь втиснуть в один.

Сколько у вас рядов мне не понятно, но у меня только два. Сферы и окружности, также как шары и круги - это одно и тоже, только разных размерностей. Сферы - являются многообразиями без краев, сфера - край шара.

Рассмотрим n-мерное евклидово пространство. Введем на нем декартову систему координат: каждая точка имеет n действительных координат x[1],x[2],...,x[n]. Расстояние между точками A1(x1[1],x1[2],...,x1[n]) и A2(x2[1],x2[2],...,x2[n]) равно r=((x1[1]-x2[1])^2+(x1[2]-x2[2])^2+...+(x1[n]-x2[n])^2)^(1/2).
Гипершар (шар размерности n) в n-мерном пространстве с центром в точке O и радиусом R есть множество точек, расстояние от которых до точки O меньше или равно R. Гиперсфера (сфера размерности n-1) в n-мерном пространстве с центром в точке O и радиусом R есть множество точек, расстояние от которых до точки O равно R.
Если мы рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве шары размерности k и сферы размерности k-1, где k меньше n, то нужно взять некоторое евклидово подпространство размерности k, проходящее через центр O и множество точек ограничить только точками этого подпространства. При k=n такое подпространство совпадает со всем пространством.

Формулу нахождения "гиперобъёма" гипершара - в студию, извините, кхм.

Извольте-с. Вывод довольно простой.

Докажем свойства интеграла z(m)=integral(t^m*exp(-t),t=0..infinity).
Интегрированием по частям exp(-t)*dt=d(-exp(-t)) и d(t^m)=m*t^(m-1)
получим z(m)=(-t^m*exp(-t))|t=infinity-(-t^m*exp(-t))|t=0-m*integral(-t^(m-1)*exp(-t),t=0..infinity)=
(при m>0 будет t^m|t=0=0) =0-0+m*z(m-1)=m*z(m-1).
z(0)=integral(exp(-t),t=0..infinity)=(-exp(-t))|t=infinity-(-exp(-t))|t=0=(-exp(-infinity))-(-exp(-0))=0-(-1)=1.
Тогда при целых m>0 будет z(m)=m*z(m-1)=m*(m-1)*z(m-2)=...
=m*...*2*1*z(0)=m! - обычный факториал. По определению 0!=1.

Обозначим через I(n) многомерный интеграл в n-мерном евклидовом пространстве R^n:
I(n)=integral(exp(-x[1]^2-x[2]^2-...-x[n]^2),x принадлежит R^n).
Используя свойство степеней a^(b+c)=a^b*a^c разделим переменные интегрирования exp(-x[1]^2-x[2]^2-...-x[n]^2)=exp(-x[1]^2)*exp(-x[2]^2)*...*exp(-x[n]^2)
Тогда интеграл I(n) раcпадется на интегрирования по отдельным переменным I(n)=integral(exp(-x[1]^2),x[1]=-infinity..infinity)*integral(exp(-x[2]^2),x[2]=-infinity..infinity)*...*
*integral(exp(-x[n]^2),x[n]=-infinity..infinity) - все одномерные интегралы Гаусса равны, ибо определенный интеграл не зависит от имени переменной интегрирования, то есть: I(n)=I(1)^n.

Выражение x[1]^2+x[2]^2+...+x[n]^2=r(x)^2 - квадрат расстояния от начала координат (точки с коодинатами 0,0,...,0) до точки x (с коодинатами x[1],x[2],...,x[n]), значит I(n)=integral(exp(-r(x)^2),x принадлежит R^n). Элементарный объем множества точек с r(x), заключенным между r и r+dr равен s(n-1)*r^(n-1)*dr, где s(n-1) - объем (n-1)-мерной сферы единичного радиуса.
Тогда, переходим к интегрированию по r:
I(n)=s(n-1)*integral(r^(n-1)*exp(-r^2),r=0..infinity), делаем замену переменных: t=r^2, dt=2*r*dr, dr=dt/2/r=dt/2/t^(1/2), что дает:
I(n)=s(n-1)/2*integral(t^((n-1)/2-1/2)*exp(-t),t=0..infinity)=(n/2-1)!*s(n-1)/2.
Отсюда s(n-1)=2*I(1)^n/(n/2-1)! - но чему равно I(1)?
По определению (n=2): 2*Pi=s(1)=s(2-1)=2*I(1)^2/(2/2-1)!=2*I(1)^2, откуда I(1)=Pi^(1/2).
Тогда, окончательное выражение: s(n-1)=n*v(n)=2*Pi^(n/2)/(n/2-1)! при R=1.

Отсюда же находим (n=1): I(1)=(1/2-1)!*s(1-1)/2=(-1/2)!*2/2=(-1/2)!, значит (-1/2)!=Pi^(1/2). Это дает факториал при полуцелых положительных аргументах:
(n+1/2)!=(n+1/2)*(n-1+1/2)!=...=(n+1/2)*...*3/2*1/2*(-1/2)!=(2*n+1)*...*3*1*(-1/2)!/2^(n+1)=(2*n+1)!/n!/2^(2*n+1)*Pi^(1/2).

Объем n-мерного шара (при n>0) единичного радиуса дает интеграл v(n)=integral(s(n-1)*r^(n-1),r=0..1)=s(n-1)/n*r^n|r=1
-s(n-1)/n*r^n|r=0=s(n-1)/n*1^n-0=s(n-1)/n=Pi^(n/2)/(n/2)/(n/2-1)!=Pi^(n/2)/(n/2)! Формула верна и для n=0: v(0)=Pi^0/0!=1/1=1.

Вопросы есть?

[visor]

Всегда хотел спросить!
Пространства с нецелой размерностью - это как?
Представить 4-мерное пространство нельзя, но можно хотя бы формально понять, что это такое пространство, в котором 4-е измерение направлено "куда-то туда".
А как быть с 2.4-мерным пространством?
Это оси x, y и ноль целых четыре десятых оси z?
Т.е. такая ось, которая идёт не до бесконечности, а до четырёх десятых бесконечности?
Или это три оси с размерностью 0.8?
Или там "нормальные" оси, но угол между ними не 90 градусов?
Или это вообще нельзя понять простым умом, а можно только записать на бумаге, будучи В.Ю.Колосковым?

p.s. Буду скучать, если санитары увезут не в общую палату, а в одиночную для гиперкруглых дураков.

[halayudha]

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/9/9b/180px-Tesseract.gif

то ее длина (одномерный объем) равна 2*Pi по определению числа Pi,

Радиус, не забываем про радиус. Т.е. 2*Pi*r, правильно?

К примеру, длина 52 метра и площадь 20 метров^2 - размерные величины, и они несравнимы. Их численные значения, если за единицы взяты метр и метр^2: 52 и 20 - безразмерные величины, их можно сравнивать. Я сравнивал объемы тел единичного радиуса, тогда они безразмерны.

Если кратенько, то сравнивать S (площадь) круга и S шара я не собирался. Это разные вещи. Я их поставил в разные ряды. S круга - в ряду первообразных, S шара - в ряду производных.

Всё, что построено с помощью точек, на расстоянии МЕНЬШЕ или БОЛЬШЕ r от центра меня не интересует, это частные проблемы математики. Для забивания гвоздей предпочитаю молоток, а не микроскоп.

Длина, площадь, объём, гиперобъём, улавливаете? Формулу нахождения именно этого гиперобъёма я и просил вас напечатать.

Вы ни словом не упомянули о гамма-функциях. Это радует.

а - отрезок (L)
4а - периметр квадрата
а^2 - площадь квадрата (S)
6а^2 - площадь поверхности куба
а^3 - объём куба(V)
8а^3 - объём гиперкуба
а^4 - гиперобъём гиперкуба (G)

[rudy]

Всегда хотел спросить!
Пространства с нецелой размерностью - это как?

Есть два варианта.
1) Реальные метрические пространства с нецелой размерностью (размерность Хаусдорфа), принимающей действительные значения от нуля до бесконечности, и только для пустого множества она принимается равной -1. Но эта размерность никак не связана с числом координат/осей. Размерность здесь определяется через степень роста объема шара от его радиуса, вблизи точки - т.е. при r->0. В евклидовом метрическом n-мерном пространстве этот рост имеет вид V=const*r^n, т.е. степень роста объема = n, т.е. размерности. В других метрических пространствах степень может быть нецелой. Такие пространства имеют очень запутанную топологию, испещрены "дырами", ничего похожего на простое евклидово пространство.
2) Только как формальное векторное пространство, но зато подобное евклидову, т.е. самого пространства нет, но есть формальные интегралы по его точкам, интегралы нецелой кратности. Размерность такого пространства может быть ЛЮБОЙ, т.е. даже отрицательной или комплексной.

Представить 4-мерное пространство нельзя, но можно хотя бы формально понять, что это такое пространство, в котором 4-е измерение направлено "куда-то туда".
А как быть с 2.4-мерным пространством?
Это оси x, y и ноль целых четыре десятых оси z?

Формально, это когда общее число координат точки 2.4, из них можно выделить несколько (произвольное целое положительное) число коодинат и остаток из нецелого числа осей. Например, можно выделить три оси x, y, z и провести по ним обычное интегрирование, и выделить остаток в виде -0.6 числа осей, по которым интегрирование идет формально - по формулам, обобщенным на нецелую кратность (как формула объема шара, пригодная для любых нецелых n).

Т.е. такая ось, которая идёт не до бесконечности, а до четырёх десятых бесконечности?

Нет! Размерность - локальное свойство и определяется сколь угодно малой окресностью точки. Размер множества, его конечность или бесконечность, никак не влияют.

Или это три оси с размерностью 0.8?

Ось относится только к одной координате, дает одно дополнительное измерение. Нужно говорить 0.8 осей (число осей) по три раза. Как разбивать - неважно, важна общая сумма числа осей. Эти оси существуют лишь формально, как формально существует само пространство нецелой или отрицательной размерности.

Или там "нормальные" оси, но угол между ними не 90 градусов?

Угол между осями никак не влияет на размерность. Лишь бы координаты были функционально независимыми.

[rudy]

то ее длина (одномерный объем) равна 2*Pi по определению числа Pi,

Радиус, не забываем про радиус. Т.е. 2*Pi*r, правильно?

Правильно. Для простоты я брал единичный радиус. Объем сфер и шаров зависит от их размерности и радиуса, но никак не зависит от размерности пространства, в которое вложено тело. Одномерная окружность она и в 10-мерном пространстве та же самая.

Если кратенько, то сравнивать S (площадь) круга и S шара я не собирался. Это разные вещи. Я их поставил в разные ряды. S круга - в ряду первообразных, S шара - в ряду производных.

Я говорил об изменении численных значений объемов шаров либо сфер единичного радиуса при изменении размерности. Вы что-то невнятное говорили о том, что значения этих объемов становятся постоянными после n=5? Или я не так понял?

Всё, что построено с помощью точек, на расстоянии МЕНЬШЕ или БОЛЬШЕ r от центра меня не интересует, это частные проблемы математики. Для забивания гвоздей предпочитаю молоток, а не микроскоп.
Длина, площадь, объём, гиперобъём, улавливаете? Формулу нахождения именно этого гиперобъёма я и просил вас напечатать.

Какого гиперобъёма, само по себе понятие гиперобъём не имеет величины. Гиперобъём конкретного тела, именно построеного с помощью точек, может иметь конкретную величину. Гиперобъём какого тела вас интересует, тела общего вида? Тогда это интеграл Ньютона по множеству, занимаемому данным телом. Нужно знать определение интеграла Ньютона - верхние-нижние суммы Дарбу, правильный предельный переход и т.д. Можно несколько проще, разбить решеткой все пространство на кубики и посчитать объемы кубиков, целиком содержащиеся в данном множестве и объемы кубиков, пересекающихся с данным множеством и затем устремить ребро кубиков к нулю. Если оба предела существуют и равны, то они и дают объем множества. Объемы размерности меньшей, чем размерность вмещающего пространства определются несколько сложнее.
Длина, площадь, объём - общее понятие: n-мерный объём (n=0, 1, 2, 3, ...). Понятия гипердлины, гиперплощади, гиперобъёма употребляются для множеств в пространстве конкретной размерности. Если вмещающее пространство n-мерное, то гиперобъём - n-мерный объём, гиперплощадь - (n-1)-мерный объём, гипердлина - (n-2)-мерный объём.

Объемы сфер и шаров можно было вычислить и прямым интегрированием (рекуррентной формулой), но для этого нужно использовать beta-интеграл, который немного сложнее факториального интеграла.

Вы ни словом не упомянули о гамма-функциях. Это радует.

Не хотел смущать публику. Все-таки это не научный форум.

[halayudha]

Выходит, у меня получилась геометрия "которой нет"? здОрово

[halayudha]

Но приятнее было бы обсудить именно описанное мной, а не Ньютоном. Уж он то всегда под рукой

[rudy]

Но приятнее было бы обсудить именно описанное мной, а не Ньютоном. Уж он то всегда под рукой

Ваше понятие объема невнятно, сумбурно и псевдонаучно. Вообще, не занимайтесь чепухой и делитантизмом, лучше изучите, что умные люди написали.

Не нужно подстраивать понятие объема (и любое понятие) под собственный уровень знаний, нужно поднимать свой уровень знаний до понятия, которое хотите изучить.

[halayudha]

Вся история науки, как мне кажется, представляет собой подгонку нового под уже известное. Пока у нового не лопается терпение В следующий раз постараюсь представить свою точку зрения более чётко, внятно и доходчиво, спасибо за беседу.

[Алех Спутник]

это вы про тот гипершар из модели Фридмана ? Квантовая теория гравитации ? Вселенная имеет конечный размер, но не имеет границ...и чем то напоминает шар.

[Эдуард Ляпунов]

Я вопросом нахождения такой общей формулы озадачился лет 15 назад, и не найдя в литературе, пришлось вычислить самому.
http://skyll.narod.ru/science/Science.html
Решение было найдено мной 15 лет назад через решение интегралов...
Получена общая формула гиперобъема гипершара для любой мерности пространства.
V - объем,
n - размерность пространства
R - радиус

V = (2^[(n+1)/2]*pi^[n/2]*R^n)/n!!

n!! - двойной факториал
n*(n-2)*...*3*1, при n неч
n*(n-2)*...*4*2, при n чет
Квадратные скобки в степенях двойки и числа пи в числители дроби, есть выделени целой части (отбрасывание дробной) от аргумента (отношения в скобках)
V0=1 (условно говоря вырождается в точку)
V1=2R
V2=pi*R^2
V3=4/3*pi*R^3
V4=(pi^2*R^4)/2
и т.д.

PS. (для тех кому сложно понять почему V1=2R, пусть представлят проекцию круга на пряму. Прямая есть одномерная....
То что для четырехмерного случая Пи стало в квадрате было для меня несколько сюрпризом когда я получил формулу. Но ясно что сложность 4х мерного гипершара отличается от трехмерного настолько же качественно, как круг отличается от отрезка)

[Алех Спутник]

гипершар в 4-х мерном пространстве времени будет представлять собой своего рода луч, или толстую струну, разве в формулу не нужно добавить время ?

[Эдуард Ляпунов]

гипершар в 4-х мерном пространстве времени будет представлять собой своего рода луч, или толстую струну, разве в формулу не нужно добавить время ?

Не надо сюда приплетать время! мы говорим про чисто геометрическую размерность! Просто 4х мерное пространство.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/9/9b/180px-Tesseract.gif

Очень красиво сделано.
Для тех кто не понял что это.
Это проекция вращающегося 4х мерного гиперкуба на 3х мерное пространство.