Статистика:Добавлено Весельчак Ы — 19.05.2018, 21:08
]]>
]]>
Читаю сейчас посты Munina на dxdy. Увы, вынужден забрать свои слова обратно, и заменяю их на «понимайте, думайте, учитесь, разбирайтесь, стремитесь к мудрости, как и подобает философу».А я вам скажу «Слушайте Munina!». Это человек редкой толковости и ясности ума. Читаю его с удовольствием.
"Считается, что само слово «философия» первым придумал Пифагор. Как сообщает Диоген Лаэртский, философию философией [любомудрием], а себя философом [любомудром] впервые стал называть Пифагор, когда спорил в Сикионе с Леонтом, тираном Сикиона или Флиунта <…>; мудрецом же, по его словам, может быть только бог, а не человек. Ибо преждевременно было бы философию называть «мудростью», а упражняющегося в ней — «мудрецом», как если бы он изострил уже свой дух до предела; а философ [«любомудр»] — это просто тот, кто испытывает влечение к мудрости.
Пифагор не оставил после себя сочинений, так что первый автор, у которого встречается слово «философ», — это Гераклит:«Очень много должны знать мужи-философы»".
Статистика:Добавлено Весельчак Ы — 19.05.2018, 20:00
]]>
Последнюю фразу я не понимаю.
Двойная эллиптическая геометрия: две прямые на сфере всегда имеют две точки пересечения?
Статистика:Добавлено Нгаан — 02.05.2018, 17:47
]]>
Последнюю фразу я не понимаю.
В геометрии, отличающейся от геометрии Евклида единственной аксиомой (о параллельности) такое невозможно. Невозможно потому, что у Евклида (или, по крайней мере, в нынешнем изложении геометрии Евклида) есть, помимо аксиомы параллельности, ещё и аксиома о том, что две прямые могут иметь не более одной общей точки.Ваш пример иллюстрирует геометрию Римана, в которой эта аксиома не действует. Подробности - в книжке, ссылку на которую дал Весельчак Ы. Собственно, из этой книжки я и узнал то, что пишу сейчас.
Статистика:Добавлено Н. Светлов — 02.05.2018, 16:29
]]>
Разбирал выше.
Bitman писал(а): ↑
29.04.2018, 18:22
Также получаем явно неправильную “теорему”: Через две точки можно провести любое число “прямых”.
Нет, не получаем (если эти две точки различны), ибо «проводя рассуждения, аналогичные тем, какие мы провели в nno 50–52, можно показать, что при таком определении геометрических элементов и отношений между ними удовлетворены все требования аксиом абсолютной геометрии»
Bitman писал(а): ↑
29.04.2018, 18:22
Ещё получаем такую “теорему”: Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.
Аналогично предыдущему, этого не может быть, если и эти прямые, и эти точки различны.
Последнюю фразу я не понимаю. Взгляните на рисунок:Bitman писал(а): ↑
29.04.2018, 18:22
Также получаем явно неправильную “теорему”: Через две точки можно провести любое число “прямых”.
Нет, не получаем (если эти две точки различны), ибо «проводя рассуждения, аналогичные тем, какие мы провели в nno 50–52, можно показать, что при таком определении геометрических элементов и отношений между ними удовлетворены все требования аксиом абсолютной геометрии»
Bitman писал(а): ↑
29.04.2018, 18:22
Ещё получаем такую “теорему”: Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.
Аналогично предыдущему, этого не может быть, если и эти прямые, и эти точки различны.
Здесь две "прямые" определённо имеют две точки пересечения.
Статистика:Добавлено Bitman — 02.05.2018, 16:22
]]>
Резюме.
Итак, насколько я вас понял, после отсеивания дефектов конструкций мы имеем следующие идеи.
Может, мы напишем статью в какой-нибудь математический журнал? Тут речь о том, что я предлагаю некий подход для формализации использования изоморфизма в математике.
Идея моего подхода заключается в том, чтобы формализовать использование метода аналогий – за счёт этого самого “назовём”.
И рецензия будет следующая «Статья содержит новые и верные результаты. К сожалению, верные результаты не новы, а новые – не верны».Я, конечно, могу ошибаться, но мне показалось, я сделал некоторое открытие: формализация метода аналогий в математике с помощью спользования омонимов. Мне кажется, вы это отвергаете подобно “специалистам по падологии” из второго рассказа.
Я думаю, тут смешиваются разные вещи. Во-первых, врунгелевский принцип «Как вы яхту назовете – так она и поплывет». Математики иногда говорят, что все (математические) объекты с одинаковыми названиями взаимосвязаны, причем возможно, что эта взаимосвязь вначале скрыта. Лично я отношусь к этому, как к шутке, но, кажется, кое-кто из математиков усматривает в глубокий смысл. Но речь сейчас идет не об этом, поскольку еще Иоанн Креститель призывал «приготовьте путь Господу, прямыми сделайте стези Ему» [Мф. 3:3, Мк. 1:3, Лк. 3:4], а вы называете «прямыми» кривые, как в Стране лжецов Джанни Родари.
В ней глава пиратской банды Джакомоне, захватив власть в стране «тут же издал приказ, которым повелевал именовать себя "ваше величество", а каждому, кто ослушается, отрезать язык. И чтобы никому не приходило в голову говорить о нем правду, он приказал своим министрам составить новый словарь.
- Нужно поменять местами все слова! - пояснил он. - Например, слово "пират" будет означать "честный человек". Если кто-нибудь назовет меня пиратом, он попросту скажет на новом языке, что я честный малый!
- Клянемся всеми китами, на глазах у которых мы шли на абордаж, шикарная мысль! - с восхищением воскликнули пираты-министры. - Прямо хоть вставляй ее в рамку и вешай на стену!
- Значит, понятно? - продолжал Джакомоне. - Тогда пойдем дальше. Измените названия всех предметов, имена людей и животных. Для начала пусть люди вместо доброго утра желают друг другу спокойной ночи. Таким образом, мои верные подданные будут каждый свой день начинать со лжи. Ну и, само собой разумеется, ложась спать, надо будет пожелать друг другу приятного аппетита...
- Великолепно! - воскликнул один из министров. - Ведь для того, чтобы сказать кому-нибудь: "Как вы прекрасно выглядите!", нужно будет произнести: "До чего же у вас мерзкая рожа!"»
http://gatchina3000.ru/literatura/rodar ... ino_04.htm
Такой подход, наверное, приемлем для некоторых политиков,* но не для математиков.
* С этим, наверное, согласятся многие. Но относительно того, о каких именно политиках идет речь, могут возникнуть разногласия.
Гугл при поиске цитаты выдал мне «Во многом Россия напоминает сегодня государство, описанное итальянским писателем Джанни Родари в сказке "Джельсомино в Стране лжецов"» Владимир Большаков «Путин навсегда. Кому это надо и к чему приведет?» (2017) и «именно на Украине знаменитая сказка Джанни Родари «Джельсомино в Стране Лгунов» превратилась в полную реальность. ...» wowavostok.livejournal.com (18 июл 2017). Во-вторых, формализация изоморфизма в математике хорошо известна, а его использование состоит прежде всего, в том, что изоморфные объекты рассматриваются, как по сути одинаковые. Более интересны связи между объектами, более слабые, чем изоморфизм. Например, рассматривая проблему о том, как хорошо изобразить сферическую поверхность Земли посредством атласа плоских карт можно прийти к идее локального изоморфизма, на котором построена теория многообразий.
Идея моего подхода заключается в том, чтобы формализовать использование метода аналогий – за счёт этого самого “назовём”.
И вот теперь мы, я думаю, подошли к сути. И, наверное, подобными проблемами занимаемся теория моделей, трудная и глубокая область современной формальной логики. Имея формальную аксиоматическую теорию (как, например, геометрию Лобачевского), можно построить интерпретацию её объектов объектами уже разработанной теории (например, геометрии Евклида), что, видимо, вы и пытаетесь сделать в ваших четырех аналогиях. Интерпретация теории называется моделью, если в ней выполняются все аксиомы теории. Тогда (возможно, при некоторых дополнительных допущениях) если утверждение теории неверно хотя бы в одной её модели, то оно не теорема и в самой теории. А при некоторых допущениях на теорию и модели, наверное, верно и обратное, т.е. если утверждение верно в каждой модели теории, то оно теорема, т.е. доказуемо в данной аксиоматической теории. Например, в главе о теориях первого порядка «Введения в математическую логику» Мендельсона доказывается следующее. Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая теорема является логически общезначимой (т.е. истинной в каждой интерпретации) (Предложение 2.7). И, наоборот, всякая логически общезначимая формула теории первого порядка является теоремой в ней (т.е. выводимой из аксиом теории посредством её правил вывода) (Следствие 2.13). Формула A истинна в каждой модели теории тогда и только тогда, когда А выводима в этой теории (Следствие 2.15.a).Значит, из четырёх рассмотренных аналогий только две “предсказывают” теорему, что две прямые могут пересекаться в двух точках. Две другие аналогии это отрицают. В данном случае мне трудно судить, где здесь истина. (и, по-видимому, эту теорему можно отбросить как недостоверную.)
Отправлено спустя 35 минут 26 секунд:
Идея модели в математике тоже не нова. Например, можно говорить о соответствии между действительными числами и точками прямой, комплексными числами и точками плоскости, и аналитической геометрии Декарта, приводящей к многомерным (и даже бесконечномерным) обобщениям.
Отправлено спустя 21 минуту 18 секунд:
Ы?Я уже писал про геометрию Лобачевского: похоже, что она является объективной реальностью,
Как вы сами написали, существуют очень простые наглядные (и, поэтому, вполне воображаемые) геометрические модели геометрии Лобачевского. Например, к дисковой модели плоскости Лобачевского, видимо, относятся красивые картинки Mauritsа Cornelisа Escherа Circle limit II и III:но человеческий разум её не способен вообразить.
Также я, кажется, где-то читал, что какие-то психологи-экспериментаторы (?) пришли к выводу, что субъективно представленное нами пространство как раз и обладает геометрией Лобачевского. Хотя лично я в это не верю.
По слухам, человеческий разум способен вообразить даже нетрехмерную геометрию.
Статистика:Добавлено Весельчак Ы — 30.04.2018, 20:06
]]>
Хорошо, попробую.
Насколько я понял, слабое место приёма, который Вы используете, заключается в том, что он не даёт общего рецепта к тому, чтобы различить "верные" аналогии и "неверные". Высказывания по аналогии могут быть истинными или ложными; Вы приводите и те, и другие примеры. Видимо, Вы исходите из того, что аналогия позволяет нам заподозрить в некоторых нетривиальных высказываниях теоремы; и в поиске теорем не пытаться доказать или опровергнуть все утверждения подряд, но только те, для которых есть "соблазнительные" аналогии. Если так, то в этом, безусловно, есть смысл.А вот чего нет - так это, пожалуй, новизны. Аналогии, о которых говорите Вы, - это не совсем те аналогии, о которых выше писал я (аналогии по общности информации), а их важный и очень специфический частный случай. В теории знаковых систем этот вид аналогий называют интерпретацией. От знаковых систем обычно требуется, чтобы они имели интерпретацию, в которой все её теоремы истинны (то есть истинность теорем - не свойство теорем, а требование к интерпретации формальной системы). В таком случае Ваши примеры, в которых все аналогии верны, соответствуют случаю, когда указанное требование к интерпретации выполнено, а примеры, в которых некоторые аналогии не верны, - противоположному случаю. Вопрос об интерпретациях и об их корректности изучен настолько хорошо, что уже лет эдак 70 вовсю используется при разработке систем искусственного интеллекта (Ж.-Л. Лорьер, «Системы искусственного интеллекта»).
Получается, что Вы ломитесь в открытую дверь - разумеется, в предположении, что я верно уловил ход Вашей мысли. Если это действительно так, то, чтобы доказать миру свои права на идеи более высокого качества, чем в среднем по клинике, имеет смысл сначала найти такую дверь, которая и в самом деле ещё не открыта - и вот её открыть.
Весельчак Ы, книжку скачал. Расстался с ошибочным своим убеждением, что геометрия Римана, как и геометрия Лобачевского, отличается от геометрии Евклида единственной аксиомой. Весьма благодарен Вам за эту разлуку
Статистика:Добавлено Н. Светлов — 30.04.2018, 17:13
]]>
Я пока только бегло глянул на то, что вы пишите по геометрии Лобачевского, но на конкретный вопрос могу ответить сразу.
То, что через две различные точки можно провести ровно одну прямую, это теорема так называемой абсолютной геометрии, общей как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского. Теорема непосредственно следует из первых же двух аксиом абсолютной геометрии (а именно, так называемых аксиом связи I.1 и I.2, см. напр. с. 40 старой доброй «Высшей геометрии» Ефимова, по которой я, в своё время, и учил геометрию Лобачевского).Значит, из четырёх рассмотренных аналогий только две “предсказывают” теорему, что две прямые могут пересекаться в двух точках. Две другие аналогии это отрицают. В данном случае мне трудно судить, где здесь истина. Хотелось бы, чтобы знатоки геометрии Лобачевского подсказали, есть ли в ней такая теорема.
Начал читать.О геометрии Лобачевского я думаю ответить потом
Пикабушное изложение геометрии Лобачевского для пацанов я решил не читать (и вам не рекомендую).
Согласно Теореме 1 на с. 41, в абсолютной геометрии две (различных) прямых могут иметь не более одной общей точки, что непосредственно следует из аксиомы I.2Две “прямые” могут иметь только одну точку пересечения.
Через заданную точку можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.
Тут такое дело. На с. 87 книги Ефимова действительно сформулирована Теорема I, утверждающая, что «какие бы прямая и точка вне её ни были заданы, через эту точку проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную. Здесь имеется в виду, конечно, прямые, лежащие в одной плоскости с данной прямой. Мы не будем больше делать подобной оговорки, полагая, что наше рассмотрение (до no 33) имеет планиметрический характер, т.е. что рассматриваются точки и прямые одной определенной плоскости». Однако, определение прямой, параллельной данной в геометрии Лобачевского уже определения прямой, не пересекающей данную. На с. 89 говорится, что по Лобачевскому, прямая a’ называется параллельной к прямой a, если в совокупности прямых, проходящих через некоторую точку прямой a’ и не встречающих прямой a, прямая a’ является граничной. На с. 90 делается заключение, что через каждую точку плоскости (не лежащую на данной прямой) проходят две прямые, параллельные данной прямой в двух различных направлениях, по одной для каждого направления.Определите сначала пересечение и параллельность. Без этого разговаривать вообще бессмысленно.
Видимо здесь речь идет о модели Пуанкаре (см. с. 152). Однако “прямыми”, т.е. прямыми в модели в ней также считаются евклидовы полупрямые верхней полуплоскости, опирающиеся на выделенную горизонтальную прямую и образующие с ней прямой угол.Модель верхней полуплоскости.
Да, см. последнее предложение на с. 152.через две точки можно провести только одну такую “прямую”.
Об этом я уже писал чуть выше.Если называть “параллельными” прямыми любые “прямые”, которые не имеют точек пересечения, то снова получается геометрия Лобачевского – через точку (правда не любую) можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой”.
А именно, в той точке, через которую их провели.Друг с другом эти прямые не будут “параллельны” (т.к. они будут пересекаться в общих точках).
Поскольку для этой модели Пуанкаре выполняется геометрия Лобачевского, а, значит, и абсолютная геометрия.В этой модели две "прямые" уже не могут иметь две точки пересечения.
Да, это еще одна модель плоскости Лобачевского, cм. с. 168.2) Модель Пуанкаре
Разбирал выше.Через одну точку можно провести любое число “прямых”, “параллельных” данной “прямой”
Нет, не получаем (если эти две точки различны), ибо «проводя рассуждения, аналогичные тем, какие мы провели в nno 50–52, можно показать, что при таком определении геометрических элементов и отношений между ними удовлетворены все требования аксиом абсолютной геометрии»Также получаем явно неправильную “теорему”: Через две точки можно провести любое число “прямых”.
Аналогично предыдущему, этого не может быть, если и эти прямые, и эти точки различны.Ещё получаем такую “теорему”: Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.
Пусть O – начало координат. Предположим, что гипербола, вращением которой оси Oz получен гиперболоид, расположена в плоскости yOz и имеет фокусы в точках (0,0,c) и (0,0,-c), с>0. Насколько я понимаю, можно показать, (см., напр. Ефимов Н. «Краткий курс аналитической геометрии», 10-е издание, §30), что в этом случае уравнение гиперболы имеет вид z2/a2-y2/(c2-a2)=1, для некоторого числа 0<a<c. Дальше я приму это допущение. Тогда плоскости xOz и yOz проходят через начало координат и их пересечение это ось Oz, которая пересекается с гиперболоидом по двум точкам (0,0,a) и (0,0,–a).4) Модель на гиперболоиде...
Вроде такие “плоскости” не могут иметь две общие точки пересечения.
Но если мы возьмем лишь одну, для определенности, верхнюю, половину гиперболоида, то ответ для различных плоскостей будет «не могут». Действительно, две различные плоскости, проходящие через начало координат, пересекаются по прямой, проходящей через него же. Повернем её относительно оси z, так, чтобы прямая оказалась в плоскости yOz. Поскольку эта прямая пересекается с верхней полостью гиперболоида, она описывается уравнениями х=0 и z=ky, для некоторого числа k≠0. Пусть (0,y,z) координаты точки пересечения этой прямой с верхней полостью гиперболоида. Тогда k2y2/a2-y^2/(c2-a2)=1. Это уравнение линейно относительно y^2, поэтому его корни отличаются лишь знаком. Знак же y определен условиями z>0 и z=ky.
1) Внутренняя поверхность сферы
Конструкция имеет прокол уже здесь, так как эта прямая содержит точки, не принадлежащие сфере. А как проводить «прямые» через эти точки, не говорится.Между двумя точками этой поверхности можно провести прямую (в трехмерном пространстве).
Да, эта теорема неверна для (двух различных точек) даже в абсолютной геометрии. Поэтому эта конструкция на внутренней поверхности сферы не является моделью геометрии Лобачевского.В то же время, получается и неправильная “теорема”: Между двумя точками можно провести две “прямые ”.
Заданная точка не должна принадлежать заданной прямой, а о соответствии такой теоремы геометрии Лобачевского я уже писал выше.Теперь получаем “теорему”, соответствующую геометрии Лобачевского:
Через заданную точку можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.
Насколько я понимаю, первая из этих теорем должна выполнятся в конструкции, а вторая – в абсолютной геометрии (для различных прямых), и здесь вы и усматриваете противоречие. Что и неудивительно, поскольку конструкция не является моделью геометрии Лобачевского.Также получаются две противоречивые “теоремы”:
Две “прямые” либо имеют две точки пересечения, либо совпадают, либо параллельны.
Две “прямые” могут иметь только одну точку пересечения.
Статистика:Добавлено Весельчак Ы — 30.04.2018, 05:01
]]>
Хорошо, попробую.
Берём 4 аналогии:
1) Внутренняя поверхность сферы
Между двумя точками этой поверхности можно провести прямую (в трехмерном пространстве). Также между двумя точками можно провести линию по поверхности, как бы тень от первой прямой, если бы в центре сферы был источник света (и далее продолжить эту линию в обе стороны, чтобы получилась окружность на поверхности сферы).
Назовём эти абстракции соответственно “линия в первом смысле” и “линия во втором смысле”.
Теперь придумаем омоним – “прямая ” в кавычках, которая означает и то и то.
Теперь получаем “теорему”, соответствующую геометрии Лобачевского:
Через заданную точку можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой ”.
В то же время, получается и неправильная “теорема”:
Между двумя точками можно провести две “прямые ”.
Также получаются две противоречивые “теоремы”:
Две “прямые” либо имеют две точки пересечения, либо совпадают, либо параллельны.
Две “прямые” могут иметь только одну точку пересечения.
2) Модель Пункаре
Назовём “прямой” в кавычках дугу окружности, перпендикулярную внешней поверхности круга (т.е. под каким углом эта дуга выходит из стенки круга, по таким же углом и входит в эту стенку; линия от центра круга до стенки делит эту дугу на две симметричные половины).
Назовём эти “прямые” “параллельными” в кавычках, если они не имеют общих точек.
Получаем “теорему”:
Через одну точку можно провести любое число “прямых”, “параллельных” данной “прямой”
Также получаем явно неправильную “теорему”:
Через две точки можно провести любое число “прямых”.
Ещё получаем такую “теорему”:
Две “прямые” могут иметь две точки пересечения.
3) Модель верхней полуплоскости
Назовём “прямыми” окружности, которые делятся пополам осью X.
Вроде через две точки можно провести только одну такую “прямую”.
Если называть “параллельными” прямыми любые “прямые”, которые не имеют точек пересечения, то снова получается геометрия Лобачевского – через точку (правда не любую) можно провести любое число “прямых”, параллельных заданной “прямой”. Друг с другом эти прямые не будут “параллельны” (т.к. они будут пересекаться в общих точках).
В этой модели две "прямые" уже не могут иметь две точки пересечения.
4) Модель на гиперболоиде
В этой модели “линиями” называем области пересечения между гиперболоидом (поверхностью, образованной вращением гиперболы вокруг оси Z на рисунке) и плоскостями, проходящими через центр координат.
Вроде такие “плоскости” не могут иметь две общие точки пересечения.
Значит, из четырёх рассмотренных аналогий только две “предсказывают” теорему, что две прямые могут пересекаться в двух точках. Две другие аналогии это отрицают. В данном случае мне трудно судить, где здесь истина. Хотелось бы, чтобы знатоки геометрии Лобачевского подсказали, есть ли в ней такая теорема.
Статистика:Добавлено Bitman — 29.04.2018, 18:22
]]>